Question

PA⊥面ABCD，ABCD为矩形，PA=AD，M，N分别是AB,PC中点，求证MN垂直平面BCD

Answer 1

PA⊥面ABCD，ABCD为矩形，PA=AD，M，N分别是AB,PC中点，求证MN垂直平面BCD ？？

你题目应该写错了吧！！应该是证明

求证MN垂直平面PCD；

由于上传图片比较慢；我就写吧；你跟着我的写法去做辅助线；

我觉得很多证明题难在 作辅助线；还有你要清楚那些性质定理@

证明思路——线面垂直；就找线线垂直；

平面外一条直线平行面内一对相交直线；即那直线平行那平面。

不能直接；可以间接去求~~~

证明： 

取PD中点O ；连接AO，ON ；

∵M，N，O分别是AB,PC，PD中点；且ABCD为矩形；AB‖且=CD

∴AM‖且=1/2 CD ； ON‖且=1/2 CD 

∴AM‖且= ON

∴AMNO是平行四边形；AO‖MN

又∵PA⊥面ABCD，CD，AD在面ABCD内；ABCD为矩形

∴PA⊥AD；PA⊥CD ；AD⊥CD

∵PA，AD在面PAD内 ；且PA∩AD =A ；CD不在面PAD内；

∴CD⊥面PAD 

又∵AO在面PAD内 ；

∴AO⊥CD

又∵PA⊥AD ；PA=AD ；O是PD中点；

∴△PAD是等腰直角三角形 ；AO⊥PD；

∵PD∩CD=D；PD、CD在面PCD内 ；AO不在面PAD

∴AO⊥面PAD ；

又∵AO‖MN ；

∴MN⊥面PAD  

↖(^ω^)↗

Answer 2

你的求证有误：应该是：求证MN垂直平面PCD

证明：如图

取PD的中点Q、连AQ、QN

∵PA⊥面ABCD

∴BA⊥PA

∵ABCD为矩形

∴BA⊥AD

∴BA⊥面PAD，∴MA⊥AQ

NQ为△PCD中位线，∴NQ平行且等于CD的一半

∴NQ平行且等于AM，∴四边形AMNQ是平行四边形

∴四边形AMNQ是矩形，

∴AQ⊥NQ

△PAD为等腰直角三角形，所以AQ垂⊥PD

∴AQ垂直PD、NQ所决定的面PCD【即AQ垂直面PCD】，

由四边形AMNQ是矩形可得：MN‖AQ

所以MN垂直平面PCD