Question

若在椭圆上存在一点P，求椭圆离心率的取值范围

设x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的两焦点分别为F1、F2,若在椭圆上存在点P，使PF⊥PF2，求椭圆离心率的取值范围

Answer 1

【常规解法】
设P(x0,y0),
PF⊥PF2，则y0/(x0+c)•/(x0-c)=-1，y0²=c²-x0².
点P在椭圆上，则x0^2/a^2+y0^2/b^2=1，
将y0²=c²-x0²代入上式：x0^2/a^2+( c²-x0²) /b^2=1，
x0^2= a^2( c²-b²)/c^2
∵点P在椭圆上，∴0≤x0^2≤a^2
∴0≤a ^2( c²-b²)/c^2≤a^2
c²-b²≥0，c²-(a²-c²) ≥0，2c²≥a²
∴√2/2≤c/a<1.
即离心率e∈[√2/2,1）.

【简便方法】
当动点P运动到短轴端点B处时，∠F1BF2最大。
若在椭圆上存在点P，使PF⊥PF2，则最大角∠F1BF2≥90°，
从而∠OB F1≥45°，而sin∠OB F1=|O F1|/| B F1|,即sin∠OB F1=c/a.
又sin∠OB F1≥√2/2,
∴c/a≥√2/2, 离心率e∈[√2/2,1）.

Answer 2

设P(x0,y0),
PF⊥PF2,则y0/(x0+c)•/(x0-c)=-1,y0²=c²-x0².
点P在椭圆上,则x0^2/a^2+y0^2/b^2=1,
将y0²=c²-x0²代入上式：x0^2/a^2+( c²-x0²) /b^2=1,
x0^2= a^2( c²-b²)/c^2
∵点P在椭圆上,∴0≤x0^2≤a^2
∴0≤a ^2( c²-b²)/c^2≤a^2
c²-b²≥0,c²-(a²-c²) ≥0,2c²≥a²
∴√2/2≤c/a