Question

已知实数x，y满足方程x的平方＋y的平方－4x－1＝0

（1）求y－x的最大值和最小值
（2）求的x的平方＋y的平方的最大值和最小值

Answer 1

已知实数X,Y满足方程X平方+Y平方—4X+1=0 （1）求Y—X的最大值和最小值.
（2）求X平方+Y平方的最大值和最小值.
（1）原方程可化为：(x-2)^2+y^2=3,是圆心为(2,0),半径为√3的圆的轨迹方程.
设y-x=z1,那z1就是直线y-x=z1的纵截距.因此当处于图1中AC的位置时,y-x=z1的纵截距,就是z1,取得最大值；而处于图1中DE的位置时,y-x=z1的纵截距,就是z1,取得最小值.
此时,BC垂直于AC,BC=√3,BD垂直于DE,BD=√3,根据点到直线距离公式,B点到直线y-x=z1的距离是：
|2-0-z1|/√(1^2+1^2)=√3,解得z1=2+√6或z1=2-√6
显然,这两个解分别是最大值和最小值（篇幅有限,从简,有疑问的话我可以再解释）
所以,y-x的最大值是2+√6,最小值是2-√6
（2）设x^2+y^2=z2,那么x^2+y^2=z2就是以原点为圆心,√z2为半径的圆的轨迹方程,因此,当圆O在图2中经过G点和F点时,√z2分别取得最大值和最小值
所以√z2的最大值为2+√3,最小值为2-√3
所以x^2+y^2的最大值是(2+√3)^2=7+4√3,最小值是(2-√3)^2=7-4√3

Answer 2

(x-2)^2+y^2=5
(1)m=y-x与圆相切时取得最值，|2+m|/√2=√5,m=-2+√10或m=-2-√10
(2)当r^2=x^2+y^2内切于该圆，取最小值r^2=(√5-2)^2=9-4√5,当外切于该圆，取最大值r^2=(√5+2)^2=9+4√5,

Answer 3

方程化为(x-2)²+y²=5。令x=2+√5cosθ，y=√5sinθ，
y-x=√5sinθ-(2+√5cosθ)=√10sin(θ-π/4)-2，最大√10-2，最小-√10-2。
x²+y²=(2+√5cosθ)²+(√5sinθ)²=9+4√5cosθ，最大9+4√5，最小9-4√5。