Question

高数微分方程

xy'-yln y=0的通解，希望过程详细点

Answer 1

dhy2603，你好：
这题太容易了，xy'-ylny=0 ①，两边再对x求一次导得到y'+xy''-y'lny-yy'/y=0,即有
xy''-y'lny=0 ②，联立两式得，ylny*y''/y'-y'lny=0③，可以开始讨论了，由第一式，可以得出可能有y'=0,此时由1知y=1,常函数。当y'≠0时，才有③,此时lny≠0，得到(yy''-y'^2)/y'=0 ④ 从而yy''-y'^2=0，得到只显含y的微分方程式，将④变形为 (y'^2-yy'')/y'^2=0,于是有(y/y')'=0，于中得y/y'=C,再倒过来变一次型，得到 y'/y=c，两边积分得lny=cx，则有y=e^(cx)，此为通解，y=1也含在里面了。