Question

高二数学 关于椭圆问题

设椭圆中心在原点上，焦点在x轴上，离心率为 2分之根号3，已知A（0,2分之3）到这个椭圆的点的最远距离好似根号7，求这个椭圆的方程。

Answer 1

解：设椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)，椭圆上任一点P(x,y)，则-b≤y≤b
由e=√3/2变形得c/a=√3/2，c²/a²=3/4，(a²-b²)/a²=3/4，a=2b
|PA|²=x²+(y-3/2)²
由x²/a²+y²/b²=1变形得x²=a²-(a²/b²)y²，代入上式得
|PA|²= a²-(a²/b²)y²+(y-3/2)²= -3(y+1/2)²+a²+3
当-b≤-1/2，即b≥1/2时，因为y≥-b，上式在y= -1/2时取得最大值a²+3，所以a²+3=(√7)²，结合a=2b解得a=2，b=1。
当-b>-1/2，即b<1/2时，因为y≥-b>-1/2，上式在y= -b时取得最大值-3(b+1/2)²+a²+3，所以-3(b+1/2)²+a²+3=(√7)²，结合a=2b解得b=√7-(3/2)，与b<1/2矛盾，不符题意。
综上所述，椭圆的方程为x²/4+y²=1

Answer 2

经计算 4x'2/19+16y'2/19=1

Answer 3

方法大概以下，可能有计算错误
e^2=(a^2-b^2)/a^2=3/4 => a=2b

设椭圆上一点P(x,y)
距离平方=(x-3/2)^2+y^2
利用式x^2+4y^2=4b^2消去y^2得距离平方=3/4x^2-3x+b^2-3/4配方得
3/4(x-2)^2-3-9/4+b^2=f(x)
-2b<=x<=2b
分b>=1与0<b<1讨论
when b>=1 f(x)max=f(b)=7/4b^2-3b-9/4=7 b=(6+sqrt(295))/7>1
when 0<b<1 f(x)max=f(2) 解出b再看看是不是0<b<1