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(6) 数学精英解 “不等式”题
1.（北京卷第7题）如果正数a,b,c,d满足a+b=cd=4,那么
A.ab c+d，且等号成立时，a,b,c,d的取值唯一
B.ab c+d，且等号成立时，a,b,c,d的取值唯一
C.ab c+d，且等号成立时，a,b,c,d的取值不唯一
D.ab c+d，且等号成立时，a,b,c,d的取值不唯一
解答： 由平均值不等式知. 答案A .
【说明】 平均值不等式等号成立的条件，而且又给定了具体的数值，所以a,b,c,d取值唯一.
2．（湖南卷第2题）不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
解答： 原不等式可化为 故选D.
3.（山东卷第7题）命题“对任意的 ， ”的否定是（ ）
A．不存在 ，
B．存在 ，
C．存在 ，
D．对任意的 ，
解答： 全称命题的否定是存在性命题.答案为C.
【说明】 命题是新课标的内容，只要理解其内涵，就不难了.
4.（江苏卷第10题）在平面直角坐标系 中，已知平面区域 ，则平面区域 的面积为（ ）
A． B． C． D．
解答： 令x+y=x,x-y=t,由题意可得平面区域B={（x,t）|s≤1,s+t≥0,s-t≥0}.画出可行域可得. 答案为B.
5. （全国卷Ⅱ第6题）不等式: >0的解集为
(A)( -2, 1) (B) ( 2, +∞)
(C) ( -2, 1)∪ ( 2, +∞) (D) ( -∞, -2)∪ ( 1, +∞)
解答： 令 ，原不等式成立，即可排除B、D，再令 ，原不等式仍成立，故再排除A，所以选C.
【说明】 本题的选择支中，区间端点值只有涉及原不等式相应的方程的根，所以主要的错点在于解不等式过程中求并或求交过程中的丢解，这样的结果可能选错为A或B.
6.（天津卷第9题）设 均为正数，且 ， ， ．则（ ）
A． B． C． D．
解答：
故有a<b<c.答案为A.
7.（重庆卷第2题）命题“若 ，则 ”的逆否命题是（ ）
A．若 ，则 或 B．若 ，则
C．若 或 ，则 D．若 或 ，则
解答： A是已知命题的否命题，B是逆命题，比较C、D易知.答案为D.
8.（福建卷第7题）已知 为 上的减函数，则满足 的实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解答： 因为f (x)为R上的减函数.
所以 解得或 ，即-1<x<0或0<x<1.答案为C.
9.（湖北卷第21题）已知m，n为正整数.
（Ⅰ）用数学归纳法证明：当x>-1时，(1+x)m≥1+mx；
（Ⅱ）对于n≥6，已知 ，求证 ，m=1,1,2…，n；
（Ⅲ）求出满足等式3n+4m+…+(n+2)m=(n+3)n的所有正整数n.
【分析】一题多问的试题，后面的各问往往需要应用前此各问的结论.
本题第（Ⅰ）问不难，但第（Ⅱ）问却令人相当棘手.我们猜想：第（Ⅱ）问是否可以利用第（Ⅰ）问的结论？第（Ⅲ）问更难，是否又可以利用第（Ⅱ）问的结论？
解题实践证明：这个猜想是对的.
解答：（Ⅰ）略
（Ⅱ）∵ 且 知 令 则 .
∴ ，即 （注：这是利用第（Ⅰ）问的前提条件）
根据（Ⅰ）， .
但 时，仍有 ， .
（注：这里连续利用放缩法达到了证题的目的）
（Ⅲ）当 时，直接验算：
显然n=2符合条件：
n=3时，左边=33+43+53=216，右边=（3+3）3=216，∴n=3也符合条件.
n=4时，左边= ，而右边= .
注意到：两个奇数之和必是奇数，而任意多个偶数之和还是偶数，那么左边=偶数，而右边=奇数，故两边必不相等，∴n=4不符合条件.
n=5时，左边= ，而右边= .
注意到：任一整数的5次幂与其本身，其个位数相同，容易判断左边的个位为5，而右边的个位是2，仍为左奇右偶，∴n=5也不符合条件.
故当 时，n=2或3.
（注：在数学高考中，也用到了与整数论有关的课外基本知识，这个动向值得注意）
当n≥6时，假定存在 使得 成立，则有：
但是：
= .
根据（Ⅱ），右式
（1）与（2）矛盾，故当不存在满足等式3n+4m+…+(n+2)m=(n+3)n的正整数.
（注：当 时，只有2与3两个数符合条件，据此我们已经猜想到n≥6时，符合条件的正整数不存在.而证题的策略是，先假定存在，然后用反证法推翻这个假定.）
综上，适合该等式的所有正整数只有2与3.
(8) 数学精英解 “圆锥曲线”题
1.(2007年湖北卷第7题) 双曲线C1： （a>0,b>0）的左准线为l,左焦点和右焦点分别为F1和F2；抛物线C2的准线为l，焦点为F2.C1和C2的一个交点为M，则 等于
A.-1 B.1 C. D.
解答： 设双曲线的离心离为e,如图：
=
答案为A.
【说明】MN是转换的中介，巧用定义.
2.(湖南卷第9题) 设 分别是椭圆 （ ）的左、右焦点，若在其右准线上存在 使线段 的中垂线过点 ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解： 椭圆的右准线方程为 的中垂线过 则 ，
当 时， 最少，即： 故选D.
答案为D.
【说明】 充分利用圆锥曲线的性质寻找解题的突破口.
3.(全国卷Ⅰ第4题) 已知双曲线的离心率为 ，焦点是 ， ，则双曲线方程为（ ）
A． B． C． D．
解答：c=4，e=2，则a=2.焦点在x轴上.答案为A.
【说明】
4.(全国卷Ⅰ第11题) 抛物线 的焦点为 ，准线为 ，经过 且斜率为 的直线与抛物线在 轴上方的部分相交于点 ， ，垂足为 ，则 的面积是（ ）
A． B． C． D．
解答： ,|AK|=3-（-1）=4，
.
答案为C.
【说明】 A点是突破点，只要求出它，便迎刃而解.
5.(浙江卷第4题) 要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是（ ）
A． B． C． D．
解答：每一条边上至少得2个，则对称性知，最少得安装4个.
【而答】 答案为B.
6.(浙江卷第9题) 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ， 是准线上一点，且 ， ，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
解答： ∵ ,∴ .
设 ,则 解得 ,
又由
得
答案为B.
【说明】 用向量解决解析几何.
7.(江苏卷第3题) 在平面直角坐标系 中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在 轴上，一条渐近线的方程为 ，则它的离心率为（ ）
A． B． C． D．
解答：渐近线的斜率 .
答案为A.
【说明】 离心率 .
8.(全国卷Ⅱ第11题) 设F1，F2分别是双曲线 的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90º，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为
(A) (B) (C) (D)
解答：由题设知 ，将|AF1|=3|AF2|以及 代入后解得 ，
又由双曲线定义知
答案为B.
【说明】 本题除了将题设部分看错以外，不会出现选错情况，比如将条件|AF1|=3|AF2|看错为|AF1|=2|AF2|，就可能选错为A等.
9.(全国卷Ⅱ第12题) 设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若 =0，则|FA|+|FB|+|FC|=
(A)9 (B) 6 (C) 4 (D) 3
解答： 欲求|FA|+|FB|+|FC|，根据抛物线的定义，只需求A、B、C三点的横坐标之和即可。设抛物线y2=4x上的三点A、B、C的坐标分别为 、 、
由于抛物线y2=4x的焦点坐标为 ，所以 ，
，又由 =0得，
进而得|FA|+|FB|+|FC|= ，故选B.
答案为B.
【说明】 若把抛物线的焦点坐标错求为 （这种错误比较容易出现），则选错为A；若将向量 的横坐标之和错求为 ，则选错为D。
10.(天津卷第4题)设双曲线 的离心率为 ，且它的一条准线与抛物线 的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
解答：
答案为D.
【说明】 离心率连着a和c,而求出了它们，b就知道了.
11.(辽宁卷第11题) 设P为又曲线 上的一点，F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|∶|PF2|=3∶2，则△PF1F2的面积为（ ）
A． B．12 C． D．24
解答： 由双曲线定义知|PF1|-|PF2|=2. 又|PF1|∶|PF2|=3∶2，解得|PF1|=6，|PF2|=4.
由双曲线方程知c2=13. ∴|F1F2|=2c= . 又∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，∴PF1⊥PF2.
∴ .
答案为B.
【说明】 本题考查双曲线的定义、性质以及基本运算能力.
12.(福建卷第6题) 以双曲线 的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
解答：由题知圆心坐标应为（5，0），排除C，D. 又因为点（5，0）到渐近线 的距离为4，验证可知A项正确.
答案为A .
【说明】 本题考查双曲线的基本运算以及直线与圆的相关知识.
（3）数学精英解“数列”题
1．（广东卷第5题）已知数列｛ ｝的前n项和 ，第k项满足5＜ ＜8，则k=
（A）9 （B）8 （C）7 （D）6
解答： B 此数列为等差数列， ，由5<2k-10<8得到k=8.
2．（天津卷第8题）设等差数列 的公差 不为0， ．若 是 与 的等比中项，则 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
解答： 由题意得，an=（n+8）d,a ,
∴（k+8）2d2=9d(2k+8)d.∴k=4.
答案为B.
3．（湖北卷第6题）若数列{an}满足 N*),则称{an}为“等方比数列”.
甲：数列{an}是等方比数列；乙：数列{an}是等比数列.则
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
解答： ，所以此数列{an}并不是等比数列；若{an}是等比数列，则 ，数列{an}是等方比数列.
答案为B.
【说明】 1，2，4，8，-16，-32，……是等方比数列，但不是等比数列.
4．（湖北卷第8题）已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且 ，则使得 为整数的正整数n的个数是
A.2 B.3 C.4 D.5
解答： 运用中值定理， .
可见，当且仅当n=1，2，3，5，11时， 为正整数.
答案为D.
5．（辽宁卷第4题）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9=（ ）
A．63 B．45 C．36 D．27
解析1：设等差数列首项为a1，公差为d，
则
∴a7+a8+a9=3a8=3(a1+7d)=3×(1+7×2)=45.
解析2：由等差数列的性质知：
S′3=S6-S3=36-9=27，d′=S′3-S3=27-9=18.
∴S″3=S3+2d′=9+2×18=45.
答案为B.
6．（福建卷第2题）数列 的前 项和为 ，若 ，则 等于（ ）
A．1 B． C． D．
解答： 由 ，得 ，
答案为B.
7.（全国卷Ⅰ第15题）等比数列 的前 项和为 ，已知 ， ， 成等差数列，则 的公比为 ．
解法一：将S2=（1+q）S1,S3=（1+q+q2）S1代入4
注意到q≠0,得公比q=
解法二：由题设得
化简得a2=3a3，故公比q=
解法三：由4S2=S1+3S3，得S2-S1=3（S3-S2）,即a2=3a3,故公比q=
8．（全国卷Ⅰ第22题）已知数列 中 ， ， ．
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）若数列 中 ， ， ，
证明： ， ．
解答：（Ⅰ）解法1：由题设：
，
．
所以，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
，
即 的通项公式为 ， ．
解法2：设
整理得
由已知
比较系数得 .
∴ .
即数列
∴ ，（n∈N+）
（Ⅱ）解法1：用数学归纳法证明．
（ⅰ）当 时，因 ， ，所以
，结论成立．
（ⅱ）假设当 时，结论成立，即 ，
也即 ．
当 时，
，
又 ，
所以
．
也就是说，当 时，结论成立．
根据（ⅰ）和（ⅱ）知 ， ．
解法2：由
于是
令
有
∵
∴数列 是以首项为1+ ，公比为（3+ ）2的等比数列.
∴ ,
又 ,
∴要证明 ，
只需证明 而
综上所得
(9) 数学精英解“立体几何”题
1.（2007年湖北卷第4题）平面α外有两条直线m和n，如果m和n在平面α内的射影分别是m’和n’，给出下列四个命题：
①m’⊥n’ m⊥n; ②m⊥n m’⊥n’
③m’与n’相交 m与n相交或重合； ④m’与n’平行 m与n平行或重合.
其中不正确的命题个数是
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】D 以教室空间为长方体模型，m’,n’作地面墙根线，m,n在墙壁上选择，易知
m’⊥n’是m⊥n的不必要不充分条件.故①②为假命题.m’,n’相交或平行，m,n可以异面；故③④也是假命题.
【说明】 抽象的线线（面）关系具体化.就是寻找空间模型，长方体教室是“不需成本”的立几模型.必要时，考生还可用手中的直尺和三角板作“图形组合”.
2.（2007年北京卷第3题）平面α‖平面β的一个充分条件是
A. 存在一条直线a,a‖α,a‖β
B. 存在一条直线a,a a‖β
C. 存在两条平行直线a,b,a ,a‖β,b‖α
D. 存在两条异面直线a,b,a ,a‖β,b‖α
【解析】D 以考场的天花板和一个墙面作为α，β，可以找出不同的直线a,b满足A、B、C项，从而排除前三项.
【说明】教室本身是一个好的长方体模型，而我们判断线线、线面关系时用它,简捷明了.
3.（2007年湖南卷第8题）棱长为1的正方体 的8个顶点都在球 的表面上， 分别是棱 ， 的中点，则直线 被球 截得的线段长为（ ）
A． B． C． D．
【解析】D 平面 截球所得圆面的半径,
被球O截得的线段为圆面的直径 故选D.
【说明】 相关知识点：球的组合体
(1)球与长方体的组合体:
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(2)球与正方体的组合体:
正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.
(3) 球与正四面体的组合体:
棱长为 的正四面体的内切球的半径为 ,外接球的半径为 .
4.(2007年全国Ⅰ第7题) 如图，正四棱柱 中， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】D 连接CD1，则∠AD1C即是异面直线A1B与AD1所成的角，
设AB=1， .
【说明】 找出异面直线所成的角，是问题的关键.
5.（2007年浙江卷第6题）若 是两条异面直线 外的任意一点，则（ ）
A．过点 有且仅有一条直线与 都平行
B．过点 有且仅有一条直线与 都垂直
C．过点 有且仅有一条直线与 都相交
D．过点 有且仅有一条直线与 都异面
【解析】B 对于选项A，若过点P有直线n与l，m都平行，则l‖m,这与l,m异面矛盾；对于B，过点P与l、m都垂直的直线即过P且与l、m的公垂线段平行的那一条直线；对于选项C，过点P与l、m都相交的直线可能没有；对于D，过点P与l、m都异面的直线可能有无数条.
【说明】 空间线线关系，找空间模型.
6.（2007年山东卷第3题）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
【解析】D 正方体三个视图都相同；圆锥的两个视图相同；三棱台三个都不同；正四棱锥的两个视图相同.
【说明】 空间想象力的发挥.
7.(2007年江苏卷第4题) 已知两条直线 ，两个平面 ．给出下面四个命题：
① ， ；
② ， ， ；
③ ， ；
④ ， ， ．
其中正确命题的序号是（ ）
A．①、③ B．②、④ C．①、④ D．②、③
【解析】C 对于②，在两平行平面内的直线有两种位置关系：平行或异面；对于③，平行线中有一条与平面平行，则另一条可能与平面平行，也可能在平面内.
8.(2007年全国卷Ⅱ第7题)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦等于
(A) (B) (C) (D)
【解析】A 欲求直线AB1与侧面ACC1A1所成角，关键是要找到直线AB1在平面ACC1A1内的射影，即要找到B1在这个平面内的射影，根据正棱柱的性质和平面与平面垂直的性质定理易知，B1在这个平面内的射影是 的中点D.
所以 就是所求.由题设，可计算出所成角的正弦值为 ，
故选A.
【说明】 若在直角三角形内的角边关系混淆，易选错为B；若对
直线和平面所成角的概念不清，易选错为C或D。
9.(2007年天津卷第6题) 设 为两条直线， 为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．若 与 所成的角相等，则
B．若 ， ，则
C．若 ，则
D．若 ， ，则
【解析】D A中，a、b可能平行、相交、异面；
B中，a、b可能平行、相交、异面；
C中a、b可以同时与α、β的交线平行；
D中a、b可以看作是α、β的法向量.
【说明】 还可以教室的一角为模型，再选择不同的墙线作为直线举反例.
10. (2007年重庆卷第3题)若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（ ）
A． 部分 B． 部分 C． 部分 D． 部分
【解析】C 以点代线，以线代面，可画示意图如下：
【说明】 图直观，无须说理.
11. (2007年辽宁卷第7题) 若m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下命题中的真命题是（ ）
A．若m ， ，则 B．若 ∩ =m， ∩ =n，m‖n，则 ‖
C．若m ，m‖ ，则 D．若 ， ，则
【解析】C A中，直线m与平面α的位置关系各种可能都有；B中，平面α与β也可能相交；C中，∵m‖ ，过m作平面γ交平面α于m′，则m‖m′. 又∵m ，∴m′ . 由面面垂直的判定定理可知， ；D中，平面β与γ也可能相交成或平行.
【说明】 本题考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系.
12. (2007年福建卷第8题) 已知 为两条不同的直线， 为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】D 对于A，当m、n为两条平行直线时，可知A错误. 对于B，m、n两条直线可能为异面直线，对于C，直线n可能在平面α内.
【说明】 本题主要考查空间中线面位置关系.
13. (2007年福建卷第10题) 顶点在同一球面上的正四棱柱 中， ，则 两点间的球面距离为（ ）
A． B． C． D．
【解析】B 如下图所示，
设球的半径为R，则有 ，连结AC，连结AC′、A′C交于点O，则O为外接球的心，
在△AOC中，AO=OC=1，AC= ，所以∠AOC= .
所以A、C两点间的球面距离为 .
【说明】 本题考查组合体的知识.
13（2007年全国卷Ⅰ第16题）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 ．
略解：记题中等腰直角三角形为ABC，A为直角顶点，过A平行于底面的截面为α.
若B、C在α同侧（图1），易证∠ABC为锐角，不合题意；
若B、C在α异侧（图2），过点B作平行于底面的截面BPQ，依“等腰”易证CP=2AQ. 取BC中点G，BP中点H，连AG、GH、HQ，可证AGHQ为矩形，故BC=2AG=2HQ= .
这个解法的关键是“猜”图，心算即可. 当然，图2中令AQ = x，CP = 2x，利用勾股定理得 求解也简单.
图1 图2
只是从图形上看，似乎图1与图2没有本质的区别.这是因为作者没有注明哪个平面是α，所以看起来B、C都在平面α的同一边.若果然如此，分类就没有必要了.
在下关于这题的解法是：
【解析】延长MN、CB交于P，连AP.
第1，可证M为PN的中点.：作MD‖BC，交CC1于D.显然：△AMB≌△MND.故DN=BM=CD，即BM= CN是△PNC的中位线，∴M为PN的中点.
第2，由AM是PN的垂直平分线可以推出△APN是等腰直角三角形.
以下由△ABP中BA=BP=2，ABP=120°，得 ，从而边 .
1.（北京卷第7题）如果正数a,b,c,d满足a+b=cd=4,那么
A.ab c+d，且等号成立时，a,b,c,d的取值唯一
B.ab c+d，且等号成立时，a,b,c,d的取值唯一
C.ab c+d，且等号成立时，a,b,c,d的取值不唯一
D.ab c+d，且等号成立时，a,b,c,d的取值不唯一
解答： 由平均值不等式知. 答案A .
【说明】 平均值不等式等号成立的条件，而且又给定了具体的数值，所以a,b,c,d取值唯一.
2．（湖南卷第2题）不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
解答： 原不等式可化为 故选D.
3.（山东卷第7题）命题“对任意的 ， ”的否定是（ ）
A．不存在 ，
B．存在 ，
C．存在 ，
D．对任意的 ，
解答： 全称命题的否定是存在性命题.答案为C.
【说明】 命题是新课标的内容，只要理解其内涵，就不难了.
4.（江苏卷第10题）在平面直角坐标系 中，已知平面区域 ，则平面区域 的面积为（ ）
A． B． C． D．
解答： 令x+y=x,x-y=t,由题意可得平面区域B={（x,t）|s≤1,s+t≥0,s-t≥0}.画出可行域可得. 答案为B.
5. （全国卷Ⅱ第6题）不等式: >0的解集为
(A)( -2, 1) (B) ( 2, +∞)
(C) ( -2, 1)∪ ( 2, +∞) (D) ( -∞, -2)∪ ( 1, +∞)
解答： 令 ，原不等式成立，即可排除B、D，再令 ，原不等式仍成立，故再排除A，所以选C.
【说明】 本题的选择支中，区间端点值只有涉及原不等式相应的方程的根，所以主要的错点在于解不等式过程中求并或求交过程中的丢解，这样的结果可能选错为A或B.
6.（天津卷第9题）设 均为正数，且 ， ， ．则（ ）
A． B． C． D．
解答：
故有a<b<c.答案为A.
7.（重庆卷第2题）命题“若 ，则 ”的逆否命题是（ ）
A．若 ，则 或 B．若 ，则
C．若 或 ，则 D．若 或 ，则
解答： A是已知命题的否命题，B是逆命题，比较C、D易知.答案为D.
8.（福建卷第7题）已知 为 上的减函数，则满足 的实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解答： 因为f (x)为R上的减函数.
所以 解得或 ，即-1<x<0或0<x<1.答案为C.
9.（湖北卷第21题）已知m，n为正整数.
（Ⅰ）用数学归纳法证明：当x>-1时，(1+x)m≥1+mx；
（Ⅱ）对于n≥6，已知 ，求证 ，m=1,1,2…，n；
（Ⅲ）求出满足等式3n+4m+…+(n+2)m=(n+3)n的所有正整数n.
【分析】一题多问的试题，后面的各问往往需要应用前此各问的结论.
本题第（Ⅰ）问不难，但第（Ⅱ）问却令人相当棘手.我们猜想：第（Ⅱ）问是否可以利用第（Ⅰ）问的结论？第（Ⅲ）问更难，是否又可以利用第（Ⅱ）问的结论？
解题实践证明：这个猜想是对的.
解答：（Ⅰ）略
（Ⅱ）∵ 且 知 令 则 .
∴ ，即 （注：这是利用第（Ⅰ）问的前提条件）
根据（Ⅰ）， .
但 时，仍有 ， .
（注：这里连续利用放缩法达到了证题的目的）
（Ⅲ）当 时，直接验算：
显然n=2符合条件：
n=3时，左边=33+43+53=216，右边=（3+3）3=216，∴n=3也符合条件.
n=4时，左边= ，而右边= .
注意到：两个奇数之和必是奇数，而任意多个偶数之和还是偶数，那么左边=偶数，而右边=奇数，故两边必不相等，∴n=4不符合条件.
n=5时，左边= ，而右边= .
注意到：任一整数的5次幂与其本身，其个位数相同，容易判断左边的个位为5，而右边的个位是2，仍为左奇右偶，∴n=5也不符合条件.
故当 时，n=2或3.
（注：在数学高考中，也用到了与整数论有关的课外基本知识，这个动向值得注意）
当n≥6时，假定存在 使得 成立，则有：
但是：
= .
根据（Ⅱ），右式
（1）与（2）矛盾，故当不存在满足等式3n+4m+…+(n+2)m=(n+3)n的正整数.
（注：当 时，只有2与3两个数符合条件，据此我们已经猜想到n≥6时，符合条件的正整数不存在.而证题的策略是，先假定存在，然后用反证法推翻这个假定.）
综上，适合该等式的所有正整数只有2与3.
(8) 数学精英解 “圆锥曲线”题
1.(2007年湖北卷第7题) 双曲线C1： （a>0,b>0）的左准线为l,左焦点和右焦点分别为F1和F2；抛物线C2的准线为l，焦点为F2.C1和C2的一个交点为M，则 等于
A.-1 B.1 C. D.
解答： 设双曲线的离心离为e,如图：
=
答案为A.
【说明】MN是转换的中介，巧用定义.
2.(湖南卷第9题) 设 分别是椭圆 （ ）的左、右焦点，若在其右准线上存在 使线段 的中垂线过点 ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解： 椭圆的右准线方程为 的中垂线过 则 ，
当 时， 最少，即： 故选D.
答案为D.
【说明】 充分利用圆锥曲线的性质寻找解题的突破口.
3.(全国卷Ⅰ第4题) 已知双曲线的离心率为 ，焦点是 ， ，则双曲线方程为（ ）
A． B． C． D．
解答：c=4，e=2，则a=2.焦点在x轴上.答案为A.
【说明】
4.(全国卷Ⅰ第11题) 抛物线 的焦点为 ，准线为 ，经过 且斜率为 的直线与抛物线在 轴上方的部分相交于点 ， ，垂足为 ，则 的面积是（ ）
A． B． C． D．
解答： ,|AK|=3-（-1）=4，
.
答案为C.
【说明】 A点是突破点，只要求出它，便迎刃而解.
5.(浙江卷第4题) 要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水．假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为6米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是（ ）
A． B． C． D．
解答：每一条边上至少得2个，则对称性知，最少得安装4个.
【而答】 答案为B.
6.(浙江卷第9题) 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ， 是准线上一点，且 ， ，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
解答： ∵ ,∴ .
设 ,则 解得 ,
又由
得
答案为B.
【说明】 用向量解决解析几何.
7.(江苏卷第3题) 在平面直角坐标系 中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在 轴上，一条渐近线的方程为 ，则它的离心率为（ ）
A． B． C． D．
解答：渐近线的斜率 .
答案为A.
【说明】 离心率 .
8.(全国卷Ⅱ第11题) 设F1，F2分别是双曲线 的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90º，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为
(A) (B) (C) (D)
解答：由题设知 ，将|AF1|=3|AF2|以及 代入后解得 ，
又由双曲线定义知
答案为B.
【说明】 本题除了将题设部分看错以外，不会出现选错情况，比如将条件|AF1|=3|AF2|看错为|AF1|=2|AF2|，就可能选错为A等.
9.(全国卷Ⅱ第12题) 设F为抛物线y2=4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若 =0，则|FA|+|FB|+|FC|=
(A)9 (B) 6 (C) 4 (D) 3
解答： 欲求|FA|+|FB|+|FC|，根据抛物线的定义，只需求A、B、C三点的横坐标之和即可。设抛物线y2=4x上的三点A、B、C的坐标分别为 、 、
由于抛物线y2=4x的焦点坐标为 ，所以 ，
，又由 =0得，
进而得|FA|+|FB|+|FC|= ，故选B.
答案为B.
【说明】 若把抛物线的焦点坐标错求为 （这种错误比较容易出现），则选错为A；若将向量 的横坐标之和错求为 ，则选错为D。
10.(天津卷第4题)设双曲线 的离心率为 ，且它的一条准线与抛物线 的准线重合，则此双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
解答：
答案为D.
【说明】 离心率连着a和c,而求出了它们，b就知道了.
11.(辽宁卷第11题) 设P为又曲线 上的一点，F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|∶|PF2|=3∶2，则△PF1F2的面积为（ ）
A． B．12 C． D．24
解答： 由双曲线定义知|PF1|-|PF2|=2. 又|PF1|∶|PF2|=3∶2，解得|PF1|=6，|PF2|=4.
由双曲线方程知c2=13. ∴|F1F2|=2c= . 又∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，∴PF1⊥PF2.
∴ .
答案为B.
【说明】 本题考查双曲线的定义、性质以及基本运算能力.
12.(福建卷第6题) 以双曲线 的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
解答：由题知圆心坐标应为（5，0），排除C，D. 又因为点（5，0）到渐近线 的距离为4，验证可知A项正确.
答案为A .
【说明】 本题考查双曲线的基本运算以及直线与圆的相关知识.
（3）数学精英解“数列”题
1．（广东卷第5题）已知数列｛ ｝的前n项和 ，第k项满足5＜ ＜8，则k=
（A）9 （B）8 （C）7 （D）6
解答： B 此数列为等差数列， ，由5<2k-10<8得到k=8.
2．（天津卷第8题）设等差数列 的公差 不为0， ．若 是 与 的等比中项，则 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
解答： 由题意得，an=（n+8）d,a ,
∴（k+8）2d2=9d(2k+8)d.∴k=4.
答案为B.
3．（湖北卷第6题）若数列{an}满足 N*),则称{an}为“等方比数列”.
甲：数列{an}是等方比数列；乙：数列{an}是等比数列.则
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
解答： ，所以此数列{an}并不是等比数列；若{an}是等比数列，则 ，数列{an}是等方比数列.
答案为B.
【说明】 1，2，4，8，-16，-32，……是等方比数列，但不是等比数列.
4．（湖北卷第8题）已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且 ，则使得 为整数的正整数n的个数是
A.2 B.3 C.4 D.5
解答： 运用中值定理， .
可见，当且仅当n=1，2，3，5，11时， 为正整数.
答案为D.
5．（辽宁卷第4题）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9=（ ）
A．63 B．45 C．36 D．27
解析1：设等差数列首项为a1，公差为d，
则
∴a7+a8+a9=3a8=3(a1+7d)=3×(1+7×2)=45.
解析2：由等差数列的性质知：
S′3=S6-S3=36-9=27，d′=S′3-S3=27-9=18.
∴S″3=S3+2d′=9+2×18=45.
答案为B.
6．（福建卷第2题）数列 的前 项和为 ，若 ，则 等于（ ）
A．1 B． C． D．
解答： 由 ，得 ，
答案为B.
7.（全国卷Ⅰ第15题）等比数列 的前 项和为 ，已知 ， ， 成等差数列，则 的公比为 ．
解法一：将S2=（1+q）S1,S3=（1+q+q2）S1代入4
注意到q≠0,得公比q=
解法二：由题设得
化简得a2=3a3，故公比q=
解法三：由4S2=S1+3S3，得S2-S1=3（S3-S2）,即a2=3a3,故公比q=
8．（全国卷Ⅰ第22题）已知数列 中 ， ， ．
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）若数列 中 ， ， ，
证明： ， ．
解答：（Ⅰ）解法1：由题设：
，
．
所以，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
，
即 的通项公式为 ， ．
解法2：设
整理得
由已知
比较系数得 .
∴ .
即数列
∴ ，（n∈N+）
（Ⅱ）解法1：用数学归纳法证明．
（ⅰ）当 时，因 ， ，所以
，结论成立．
（ⅱ）假设当 时，结论成立，即 ，
也即 ．
当 时，
，
又 ，
所以
．
也就是说，当 时，结论成立．
根据（ⅰ）和（ⅱ）知 ， ．
解法2：由
于是
令
有
∵
∴数列 是以首项为1+ ，公比为（3+ ）2的等比数列.
∴ ,
又 ,
∴要证明 ，
只需证明 而
综上所得
(9) 数学精英解“立体几何”题
1.（2007年湖北卷第4题）平面α外有两条直线m和n，如果m和n在平面α内的射影分别是m’和n’，给出下列四个命题：
①m’⊥n’ m⊥n; ②m⊥n m’⊥n’
③m’与n’相交 m与n相交或重合； ④m’与n’平行 m与n平行或重合.
其中不正确的命题个数是
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】D 以教室空间为长方体模型，m’,n’作地面墙根线，m,n在墙壁上选择，易知
m’⊥n’是m⊥n的不必要不充分条件.故①②为假命题.m’,n’相交或平行，m,n可以异面；故③④也是假命题.
【说明】 抽象的线线（面）关系具体化.就是寻找空间模型，长方体教室是“不需成本”的立几模型.必要时，考生还可用手中的直尺和三角板作“图形组合”.
2.（2007年北京卷第3题）平面α‖平面β的一个充分条件是
A. 存在一条直线a,a‖α,a‖β
B. 存在一条直线a,a a‖β
C. 存在两条平行直线a,b,a ,a‖β,b‖α
D. 存在两条异面直线a,b,a ,a‖β,b‖α
【解析】D 以考场的天花板和一个墙面作为α，β，可以找出不同的直线a,b满足A、B、C项，从而排除前三项.
【说明】教室本身是一个好的长方体模型，而我们判断线线、线面关系时用它,简捷明了.
3.（2007年湖南卷第8题）棱长为1的正方体 的8个顶点都在球 的表面上， 分别是棱 ， 的中点，则直线 被球 截得的线段长为（ ）
A． B． C． D．
【解析】D 平面 截球所得圆面的半径,
被球O截得的线段为圆面的直径 故选D.
【说明】 相关知识点：球的组合体
(1)球与长方体的组合体:
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(2)球与正方体的组合体:
正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.
(3) 球与正四面体的组合体:
棱长为 的正四面体的内切球的半径为 ,外接球的半径为 .
4.(2007年全国Ⅰ第7题) 如图，正四棱柱 中， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】D 连接CD1，则∠AD1C即是异面直线A1B与AD1所成的角，
设AB=1， .
【说明】 找出异面直线所成的角，是问题的关键.
5.（2007年浙江卷第6题）若 是两条异面直线 外的任意一点，则（ ）
A．过点 有且仅有一条直线与 都平行
B．过点 有且仅有一条直线与 都垂直
C．过点 有且仅有一条直线与 都相交
D．过点 有且仅有一条直线与 都异面
【解析】B 对于选项A，若过点P有直线n与l，m都平行，则l‖m,这与l,m异面矛盾；对于B，过点P与l、m都垂直的直线即过P且与l、m的公垂线段平行的那一条直线；对于选项C，过点P与l、m都相交的直线可能没有；对于D，过点P与l、m都异面的直线可能有无数条.
【说明】 空间线线关系，找空间模型.
6.（2007年山东卷第3题）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
【解析】D 正方体三个视图都相同；圆锥的两个视图相同；三棱台三个都不同；正四棱锥的两个视图相同.
【说明】 空间想象力的发挥.
7.(2007年江苏卷第4题) 已知两条直线 ，两个平面 ．给出下面四个命题：
① ， ；
② ， ， ；
③ ， ；
④ ， ， ．
其中正确命题的序号是（ ）
A．①、③ B．②、④ C．①、④ D．②、③
【解析】C 对于②，在两平行平面内的直线有两种位置关系：平行或异面；对于③，平行线中有一条与平面平行，则另一条可能与平面平行，也可能在平面内.
8.(2007年全国卷Ⅱ第7题)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦等于
(A) (B) (C) (D)
【解析】A 欲求直线AB1与侧面ACC1A1所成角，关键是要找到直线AB1在平面ACC1A1内的射影，即要找到B1在这个平面内的射影，根据正棱柱的性质和平面与平面垂直的性质定理易知，B1在这个平面内的射影是 的中点D.
所以 就是所求.由题设，可计算出所成角的正弦值为 ，
故选A.
【说明】 若在直角三角形内的角边关系混淆，易选错为B；若对
直线和平面所成角的概念不清，易选错为C或D。
9.(2007年天津卷第6题) 设 为两条直线， 为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．若 与 所成的角相等，则
B．若 ， ，则
C．若 ，则
D．若 ， ，则
【解析】D A中，a、b可能平行、相交、异面；
B中，a、b可能平行、相交、异面；
C中a、b可以同时与α、β的交线平行；
D中a、b可以看作是α、β的法向量.
【说明】 还可以教室的一角为模型，再选择不同的墙线作为直线举反例.
10. (2007年重庆卷第3题)若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成（ ）
A． 部分 B． 部分 C． 部分 D． 部分
【解析】C 以点代线，以线代面，可画示意图如下：
【说明】 图直观，无须说理.
11. (2007年辽宁卷第7题) 若m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下命题中的真命题是（ ）
A．若m ， ，则 B．若 ∩ =m， ∩ =n，m‖n，则 ‖
C．若m ，m‖ ，则 D．若 ， ，则
【解析】C A中，直线m与平面α的位置关系各种可能都有；B中，平面α与β也可能相交；C中，∵m‖ ，过m作平面γ交平面α于m′，则m‖m′. 又∵m ，∴m′ . 由面面垂直的判定定理可知， ；D中，平面β与γ也可能相交成或平行.
【说明】 本题考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系.
12. (2007年福建卷第8题) 已知 为两条不同的直线， 为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】D 对于A，当m、n为两条平行直线时，可知A错误. 对于B，m、n两条直线可能为异面直线，对于C，直线n可能在平面α内.
【说明】 本题主要考查空间中线面位置关系.
13. (2007年福建卷第10题) 顶点在同一球面上的正四棱柱 中， ，则 两点间的球面距离为（ ）
A． B． C． D．
【解析】B 如下图所示，
设球的半径为R，则有 ，连结AC，连结AC′、A′C交于点O，则O为外接球的心，
在△AOC中，AO=OC=1，AC= ，所以∠AOC= .
所以A、C两点间的球面距离为 .
【说明】 本题考查组合体的知识.
13（2007年全国卷Ⅰ第16题）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上．已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为 ．
略解：记题中等腰直角三角形为ABC，A为直角顶点，过A平行于底面的截面为α.
若B、C在α同侧（图1），易证∠ABC为锐角，不合题意；
若B、C在α异侧（图2），过点B作平行于底面的截面BPQ，依“等腰”易证CP=2AQ. 取BC中点G，BP中点H，连AG、GH、HQ，可证AGHQ为矩形，故BC=2AG=2HQ= .
这个解法的关键是“猜”图，心算即可. 当然，图2中令AQ = x，CP = 2x，利用勾股定理得 求解也简单.
图1 图2
只是从图形上看，似乎图1与图2没有本质的区别.这是因为作者没有注明哪个平面是α，所以看起来B、C都在平面α的同一边.若果然如此，分类就没有必要了.
在下关于这题的解法是：
【解析】延长MN、CB交于P，连AP.
第1，可证M为PN的中点.：作MD‖BC，交CC1于D.显然：△AMB≌△MND.故DN=BM=CD，即BM= CN是△PNC的中位线，∴M为PN的中点.
第2，由AM是PN的垂直平分线可以推出△APN是等腰直角三角形.
以下由△ABP中BA=BP=2，ABP=120°，得 ，从而边 .
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中考数学难题 悬赏分：0 | 离问题结束还有 13 天 6 小时 | 提问者：言12186
如图,在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A(-2，0)，O(0，0)，B(0，4)，把△AOB绕点O按顺时针方向旋转 ,得到△COD.（1）求C、D两点的坐标；
（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中的抛物线的对称轴上取两点E、F(点E在点F的上方)，且EF=1，使四边形ACEF 的周长最小，求出E、F两点的坐标.
如图,在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A(-2，0)，O(0，0)，B(0，4)，把△AOB绕点O按顺时针方向旋转 ,得到△COD.（1）求C、D两点的坐标；
（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中的抛物线的对称轴上取两点E、F(点E在点F的上方)，且EF=1，使四边形ACEF 的周长最小，求出E、F两点的坐标.
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