Question

1.从1到50这五十个数中选出若干个数,要求使任两个数互质，则所选数的总和最大是？

2.若a，b均是不超过十的正整数，若a，b两数的和，差，积，商之和恰是一个完全平方数，则满足条件的有序数对（a，b）共有几个？
3.求实数x，y的值，使得（y-1）的平方+（x+y-3）的平方+（2x+y-6）的平方达到最小值
快！！！都要有过程，好的话追加悬赏...

Answer 1

1、按质数及其N次方把1至50分成15组：
{{2，4，8，16，32}，{3，9，27}，{5，25}，{7，49}；
{11}，{13}，{17}，{19}，{23}，{29}；
{31}，{37}，{41}，{43}，{47}；
剩下的作为1组如{1，6，10，12，14，……}，
要使从1至50中选出的数两两互质，前15个抽屉中每个抽屉至多选一个数，且最好选此组最大的数。
因此所选数的总和最大
=32+27+25+49+11+13+17+19+23+29+31+37+41+43+47 = 444

2、
不妨令A>B，则其和差积商的和
= A + B + A - B + A*B + A/B
= 2A + AB + A/B
显然A是B的倍数【1、2……】，令A = MB
和 = 2MB + MB^2 + M
当M = 1时，和 = B^2 + 2B + 1 = (B + 1)^2 ，此时显然B = 1到10的任意整数。
当M <> 1时，和 = 2MB + MB^2 + M = N^2，即B^2 + 2B + 1 = (B + 1)^2 = N^2/M，
显然M只能为完全平方数，又要使A在1到10的范围内，则
M = 4时，B = 1、2，A = 4、8
M = 9时，B = 1，A = 9
综上，成立的AB数对有：
(1、1)，(2、2)，(3、3)，(4、4)，(5、5)，(6、6)，(7、7)，(8、8)，(9、9)，(10、10)，
(4、1)，(8、2)，
(9、1)。

3、
（y-1）的平方+（x+y-3）的平方+（2x+y-6）
= Y^2 - 2Y + 1 + X^2 + Y^2 + 9 + 2XY - 6X - 6Y + 4X^2 + 4XY + Y^2 - 24X -12Y + 36
= 5X^2 + 3Y^2 + 6XY - 30X - 20Y + 46
分别对X、Y求导得驻点坐标方程组：
10X + 6Y - 30 = 0
6X + 6Y - 20 = 0
解得X = 5/2 ，Y = 5/6
此时最小值 = 1/6

Answer 2

1.按质因数把1至50分成17个抽屉：
{1}，{2，4，8，16，32}，{3，9，27}，{5，25}，{7，49}；
{11}，{13}，{17},{19}，{23};
{29},{31}，{37}，{41}，{43};{47},
剩下的作一个抽屉，
要使从1至50中选出的数两两互质，前16个抽屉中每个抽屉至多选一个数，于是所选数的总和最大是
1+32+29+25+49.+11+13+17+19+23.+29+31+37+41+43.+47=447。

2.设a=bc,a+b+a-b+ab+a/b=2bc+b^2c+c=c(b+1)^2是平方数，
<==>b,c，bc是不超过十的正整数，c是平方数，
<==>(b,c)=(b,1),(1,4),(2,4),(1,9),
<==>(a,b)=(1,1),(2,2),……，（10，10）；
（4，1），（8，2），（9，1），共13对。

3.（y-1）的平方+（x+y-3）的平方+（2x+y-6）的平方
=y^2-2y+1+x^2+2xy+y^2-6x-6y+9
................+4x^2+4xy+y^2-24x-12y+36
=5x^2+6xy+3y^2-30x-20y+46,记为f(x,y),
下面求驻点坐标：
f'x=10x+6y-30=0,
f'y=6x+6y-20=0,
解得x=5/2,y=5/6.为所求。

Answer 3

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50个数里选6个,
即已经有确定的6个数，那么从6个数里选3个共有c
3
6种不同组合，而从50个数里选3个数本身有c3
50种可能，故所求概率为c3
6/c3
50