高中必修4数学题目（以下题目最好都要有解题过程）
1、已知非零向量AB与AC满足[（向量AB/｜向量AB｜）+(向量AC/｜向量AC｜)·向量BC=0，且（向量AB/｜向量AB｜）·(向量AC/｜向量AC｜)=&frac...
1、已知非零向量AB与AC满足[（向量AB/｜向量AB｜）+ (向量AC/｜向量AC｜)·向量BC=0，且（向量AB/｜向量AB｜）·(向量AC/｜向量AC｜) =½ ，判断三角形ABC的形状。
2、在四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，且 向量BC=λ倍向量AD（λ∈R），｜向量AB｜=｜向量AD｜=2，｜向量CB―向量CD｜=2倍根号3 ，
（1）、若三角形BCD为直角三角形，求λ的值；
（2）、在（1）的条件下，求 向量CB·向量BA 。
3、以原点和点（5，2）为顶点作等腰直角三角形OAB，使∠B=90°，求点B和向量AB 的坐标。
4、已知O、A、B三点的坐标分别为O(0，0)，A(3，0)，B（0，3），点P在线段AB上，且 向量AP=t倍向量AB，（0≤t≤1），则向量OA·向量OP的最大值为＿。
5、与向量a=（7/2，½）和向量b=（½，7/2）的夹角相等，且模为一的向量的坐标是＿。
6、已知三点A(1，2)，B（3，1），C（-1，0），试回答下列问题：
（1）、用坐标表示向量AB，并求它的模；
（2）、求使向量AB=向量CD的点D的 坐标；
（3）、设向量AB和向量AC的夹角为θ，求cosθ 的值；
（4）、求平行四边形ABCD的面积。
7、平面内向量OA=（1，7），向量OB=（5，1），向量OP=（2，1），点Q为直线OP上的一个动点。
（1）、当向量QA·向量QB去取最小值时，求向量OQ 的坐标；
（2）、当点Q满足（1）的条件和结论时，求cos∠AQB 的值。
8、已知向量a，b为非零向量，当 向量a+t倍向量b （t∈R）的模取最小值时：
（1）、求t的值；
（2）、求证：向量b 与 向量a+t倍向量b 垂直。
9、已知AD 、BE、CF是三角形ABC的三条高，求证：AD 、BE、 CF相交于一点。 展开
2、在四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，且 向量BC=λ倍向量AD（λ∈R），｜向量AB｜=｜向量AD｜=2，｜向量CB―向量CD｜=2倍根号3 ，
（1）、若三角形BCD为直角三角形，求λ的值；
（2）、在（1）的条件下，求 向量CB·向量BA 。
3、以原点和点（5，2）为顶点作等腰直角三角形OAB，使∠B=90°，求点B和向量AB 的坐标。
4、已知O、A、B三点的坐标分别为O(0，0)，A(3，0)，B（0，3），点P在线段AB上，且 向量AP=t倍向量AB，（0≤t≤1），则向量OA·向量OP的最大值为＿。
5、与向量a=（7/2，½）和向量b=（½，7/2）的夹角相等，且模为一的向量的坐标是＿。
6、已知三点A(1，2)，B（3，1），C（-1，0），试回答下列问题：
（1）、用坐标表示向量AB，并求它的模；
（2）、求使向量AB=向量CD的点D的 坐标；
（3）、设向量AB和向量AC的夹角为θ，求cosθ 的值；
（4）、求平行四边形ABCD的面积。
7、平面内向量OA=（1，7），向量OB=（5，1），向量OP=（2，1），点Q为直线OP上的一个动点。
（1）、当向量QA·向量QB去取最小值时，求向量OQ 的坐标；
（2）、当点Q满足（1）的条件和结论时，求cos∠AQB 的值。
8、已知向量a，b为非零向量，当 向量a+t倍向量b （t∈R）的模取最小值时：
（1）、求t的值；
（2）、求证：向量b 与 向量a+t倍向量b 垂直。
9、已知AD 、BE、CF是三角形ABC的三条高，求证：AD 、BE、 CF相交于一点。 展开
3个回答
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1、已知非零向量AB与AC满足[（AB/｜AB｜）+ (AC/｜AC｜)]•BC=0，
且（AB/｜AB｜)•(AC/｜AC｜) =½ ，判断三角形ABC的形状。
(原题写漏半个中括号)(AB/│AB│表与向量AB同向的单位向量,其模=1.其余类似)
解:（AB/｜AB｜)•(AC/｜AC｜)=1×1×cosA =½ ,故A=60°
[（AB/｜AB｜）+ (AC/｜AC｜)]•BC=│(AB/｜AB｜）+ (AC/｜AC｜)││BC│cos(A/2+C)=0
得cos(A/2+C)=0故A/2+C=90°,∴C=90°-60°/2=60°,
△ABC是等边△.
2、在四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，且 BC=λ(AD)（λ∈R），｜AB｜=｜AD｜=2，
｜CB-CD｜=2√3
（1）、若三角形BCD为直角三角形，求λ的值
（2）、在（1）的条件下，求 CB•BA
解:(1) │CB-CD│=│DB│=2√3
在△ABD中,│DB│²=│AD│²+│AB│²-2│AD││AB│cosA
即有12=4+4-8cosA,故cosA=-1/2, ∴A=120°, ∠ABD=∠ADB=30°
BC=λ(AD),故BC‖AD,且│BC│=λ│AD│=2λ
∠DBC=∠ABC-∠ABD=60°-30°=30°
∠C=90°,故│BC│=2(√3)cos30°=3=2λ, ∴λ=3/2
(2)CB•BA=│CB││BA│cos120°=3×2×(-1/2)=-3
3、以原点和点A（5，2）为顶点作等腰直角三角形OAB，使∠B=90°，
求点B和向量AB 的坐标。
解:│OA│=√29, OA中点M(5/2, 1), 以M为圆心,以│OA│/2=(√29)/2为半径作园M:
M: (x-5/2)²+(y-1)²=29/4
过M作OA的垂直线: y=-(5/2)(x-5/2)+1=-(5/2)x+29/4,代入园M的方程,化简得
4x²-20x+21=(2x-7)(2x-3)=0
解得x₁=3.5, x₂=1.5.
于是y₁=-1.5, y₂=3.5
即B₁(3.5, -1.5); B₂(1.5, 3.5)
向量AB₁=-1.5i - 3.5j
向量AB₁=-3.5i +1.5j
4、已知O、A、B三点的坐标分别为O(0，0)，A(3，0)，B（0，3），点P在线段AB上，
且 向量AP=t倍向量AB，（0≤t≤1），则向量OA•向量OP的最大值为＿。
解:OA•OP=│OA││OP│cos∠AOP≤│OA│²=9
当t=0即P点与A点重合时OA•OP获得最大值9.
5、与向量a=（7/2，½）和向量b=（½，7/2）的夹角相等，且模为1的向量的坐标是＿。
解:与向量a同向的单位向量a°=a/│a│=a/(25/2)=2a/25
与向量b同向的单位向量b°=b/│b│=b/(25/2)=2b/25
a°与b°的和向量c=a°+b°=(2/25)(a+b)
向量c平方向量a和b的架角.
与向量c同向的单位向量c°=c/│c│=c/(2/25)√2=(a+b)/√2=(√2)a/2+(√2)b/2
故与向量a,b夹角相等的单位向量c°的坐标为(√2/2, √2/2)
6、已知三点A(1，2)，B（3，1），C（-1，0），试回答下列问题：
（1）、用坐标表示向量AB，并求它的模；
（2）、求使向量AB=向量CD的点D的 坐标；
（3）、设向量AB和向量AC的夹角为θ，求cosθ 的值；
（4）、求平行四边形ABCD的面积。
解:(1)AB=(3-1, 1-2)=(2, -1), │AB│=√[2²+(-1)²]=√5
(2)设D(x, y),则CD=(x+1, y-0)=(2, -1)
其中x+1=2, x=1, y=-1,故D(1,-1)
(3)AC=(-2, -2)
AB所在直线的斜率k₂=-1/2; AC所在直线的斜率k₁=1
故从AC到AB的夹角θ的正切tanθ=(k₂-k₁)/(1+k₁k₂)=(-1/2-1)/(1-1/2)=-3
于是得cosθ=-1/√(1+tan²θ)=-1/√10, sinθ=√(1-1/10)=3/√10,
(4)平形四边ABCD的面积S=│AB││AC│sinθ=(√5)×(√8)×(3/√10)=6
7、平面内向量OA=（1，7），向量OB=（5，1），向量OP=（2，1），点Q为直线OP
上的一个动点。
（1）、当向量QA•向量QB取最小值时，求向量OQ 的坐标；
（2）、当点Q满足（1）的条件和结论时，求cos∠AQB 的值。
解:(1)Q在OP上,故可设Q的坐标为(2y,y),其中0≤y≤1.
QB=(5-2y, 1-y), QA=(1-2y, 7-y)
QA•QB=(5-2y)(1-2y)+(1-y)(7-y)=5y²-20y+12=5(y-2)²-8
当y=1时QA•QB获得最小值(-3)
(2)此时Q(2, 1), QB=(3, 0); QA=(-1, 6)
cos∠AQB=QA•QB/│QA││QB│=-3/(3√37)=-1/√37.
8、已知向量a，b为非零向量，当 向量a+t倍向量b （t∈R）的模取最小值时：
（1）、求t的值；
（2）、求证：向量b 与 向量a+t倍向量b 垂直。
解:(1)为使问题简化,取a,b的交点O作坐标原点,向量b在x轴上且与x轴同向,a在第一象限
内,a于b的夹角为锐角.于是可设a=(m,n), b=(k,0), (m＞0, n＞0, k＞0)
a+tb=(m+tk, n)
│a+tb│=√[(m+kt)²+n²]=√(k²t²+2mkt+m²+n²)=√[k²(t+m/k)²+n²]≥n
当t=-m/k时等号成立,此时│a+tb│min=n, a+tb=(0, n)
(2)b•(a+tb)=k×0+0×n=0,又b•(a+tb)=│b││a+tb│cosθ=0
其中θ为a与a+tb的夹角,│b│≠0, │a+tb│≠0,故必有cosθ=0,即θ=90°
也就是b⊥(a+tb), 故证.
9、已知AD 、BE、CF是三角形ABC的三条高，求证：AD 、BE、 CF相交于一点。
解:此题用矢量好像不好证.你看看初等几何吧.下回别一次提这么多问题,太费时间了!
且（AB/｜AB｜)•(AC/｜AC｜) =½ ，判断三角形ABC的形状。
(原题写漏半个中括号)(AB/│AB│表与向量AB同向的单位向量,其模=1.其余类似)
解:（AB/｜AB｜)•(AC/｜AC｜)=1×1×cosA =½ ,故A=60°
[（AB/｜AB｜）+ (AC/｜AC｜)]•BC=│(AB/｜AB｜）+ (AC/｜AC｜)││BC│cos(A/2+C)=0
得cos(A/2+C)=0故A/2+C=90°,∴C=90°-60°/2=60°,
△ABC是等边△.
2、在四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，且 BC=λ(AD)（λ∈R），｜AB｜=｜AD｜=2，
｜CB-CD｜=2√3
（1）、若三角形BCD为直角三角形，求λ的值
（2）、在（1）的条件下，求 CB•BA
解:(1) │CB-CD│=│DB│=2√3
在△ABD中,│DB│²=│AD│²+│AB│²-2│AD││AB│cosA
即有12=4+4-8cosA,故cosA=-1/2, ∴A=120°, ∠ABD=∠ADB=30°
BC=λ(AD),故BC‖AD,且│BC│=λ│AD│=2λ
∠DBC=∠ABC-∠ABD=60°-30°=30°
∠C=90°,故│BC│=2(√3)cos30°=3=2λ, ∴λ=3/2
(2)CB•BA=│CB││BA│cos120°=3×2×(-1/2)=-3
3、以原点和点A（5，2）为顶点作等腰直角三角形OAB，使∠B=90°，
求点B和向量AB 的坐标。
解:│OA│=√29, OA中点M(5/2, 1), 以M为圆心,以│OA│/2=(√29)/2为半径作园M:
M: (x-5/2)²+(y-1)²=29/4
过M作OA的垂直线: y=-(5/2)(x-5/2)+1=-(5/2)x+29/4,代入园M的方程,化简得
4x²-20x+21=(2x-7)(2x-3)=0
解得x₁=3.5, x₂=1.5.
于是y₁=-1.5, y₂=3.5
即B₁(3.5, -1.5); B₂(1.5, 3.5)
向量AB₁=-1.5i - 3.5j
向量AB₁=-3.5i +1.5j
4、已知O、A、B三点的坐标分别为O(0，0)，A(3，0)，B（0，3），点P在线段AB上，
且 向量AP=t倍向量AB，（0≤t≤1），则向量OA•向量OP的最大值为＿。
解:OA•OP=│OA││OP│cos∠AOP≤│OA│²=9
当t=0即P点与A点重合时OA•OP获得最大值9.
5、与向量a=（7/2，½）和向量b=（½，7/2）的夹角相等，且模为1的向量的坐标是＿。
解:与向量a同向的单位向量a°=a/│a│=a/(25/2)=2a/25
与向量b同向的单位向量b°=b/│b│=b/(25/2)=2b/25
a°与b°的和向量c=a°+b°=(2/25)(a+b)
向量c平方向量a和b的架角.
与向量c同向的单位向量c°=c/│c│=c/(2/25)√2=(a+b)/√2=(√2)a/2+(√2)b/2
故与向量a,b夹角相等的单位向量c°的坐标为(√2/2, √2/2)
6、已知三点A(1，2)，B（3，1），C（-1，0），试回答下列问题：
（1）、用坐标表示向量AB，并求它的模；
（2）、求使向量AB=向量CD的点D的 坐标；
（3）、设向量AB和向量AC的夹角为θ，求cosθ 的值；
（4）、求平行四边形ABCD的面积。
解:(1)AB=(3-1, 1-2)=(2, -1), │AB│=√[2²+(-1)²]=√5
(2)设D(x, y),则CD=(x+1, y-0)=(2, -1)
其中x+1=2, x=1, y=-1,故D(1,-1)
(3)AC=(-2, -2)
AB所在直线的斜率k₂=-1/2; AC所在直线的斜率k₁=1
故从AC到AB的夹角θ的正切tanθ=(k₂-k₁)/(1+k₁k₂)=(-1/2-1)/(1-1/2)=-3
于是得cosθ=-1/√(1+tan²θ)=-1/√10, sinθ=√(1-1/10)=3/√10,
(4)平形四边ABCD的面积S=│AB││AC│sinθ=(√5)×(√8)×(3/√10)=6
7、平面内向量OA=（1，7），向量OB=（5，1），向量OP=（2，1），点Q为直线OP
上的一个动点。
（1）、当向量QA•向量QB取最小值时，求向量OQ 的坐标；
（2）、当点Q满足（1）的条件和结论时，求cos∠AQB 的值。
解:(1)Q在OP上,故可设Q的坐标为(2y,y),其中0≤y≤1.
QB=(5-2y, 1-y), QA=(1-2y, 7-y)
QA•QB=(5-2y)(1-2y)+(1-y)(7-y)=5y²-20y+12=5(y-2)²-8
当y=1时QA•QB获得最小值(-3)
(2)此时Q(2, 1), QB=(3, 0); QA=(-1, 6)
cos∠AQB=QA•QB/│QA││QB│=-3/(3√37)=-1/√37.
8、已知向量a，b为非零向量，当 向量a+t倍向量b （t∈R）的模取最小值时：
（1）、求t的值；
（2）、求证：向量b 与 向量a+t倍向量b 垂直。
解:(1)为使问题简化,取a,b的交点O作坐标原点,向量b在x轴上且与x轴同向,a在第一象限
内,a于b的夹角为锐角.于是可设a=(m,n), b=(k,0), (m＞0, n＞0, k＞0)
a+tb=(m+tk, n)
│a+tb│=√[(m+kt)²+n²]=√(k²t²+2mkt+m²+n²)=√[k²(t+m/k)²+n²]≥n
当t=-m/k时等号成立,此时│a+tb│min=n, a+tb=(0, n)
(2)b•(a+tb)=k×0+0×n=0,又b•(a+tb)=│b││a+tb│cosθ=0
其中θ为a与a+tb的夹角,│b│≠0, │a+tb│≠0,故必有cosθ=0,即θ=90°
也就是b⊥(a+tb), 故证.
9、已知AD 、BE、CF是三角形ABC的三条高，求证：AD 、BE、 CF相交于一点。
解:此题用矢量好像不好证.你看看初等几何吧.下回别一次提这么多问题,太费时间了!
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