Question

若不等式x^2-mx+1≥0对一切x属于(0,1/2]恒成立，则实数m的最大值为？

Answer 1

不等式x^2-mx+1≥0对一切x属于(0,1/2]恒成立
即m≤(x^2+1)/x对一切x属于(0,1/2]恒成立
于是m小于等于右端函数的最小值
而(x^2+1)/x在(0,1/2]上单调递减，于是当x=1/2时取最小值5/2
于是m≤5/2
即m的最大值为5/2

Answer 2

x^2-mx+1≥0对一切x属于(0,1/2]恒成立
x^2-mx+1≥0
mx≤x^2+1
x∈（0,1/2)
两边同除以x
m≤x+1/x
f(x)=x+1/x
f'(x0=1-1/x^2=(x^2-1)x^2
在x∈（0,1/2)，f'(x)＜0，f(x)单调减
fmin=f(1/2)=1/2+2=5/2
即m最大值5/2