Question

若函数f(x,y)对任意正实数t满足f(tx,ty)=f(x,y)乘以t的n次方，就称f(x,y)为n次齐次函数。设函数f(x,y)可微

证明f(x,y)为n次齐次函数的充要条件是xf'(x,y)+yf'(x,y)=nf(x,y)
(上面的f'()前面是对x后面是对y）。必要性我会证，谁教一下充分性怎么证明？

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

首先，n次齐次函数为f（tx，ty）=t^nf(x,y) ..............1式
令tx=u，ty=v
两边对t求导得x<?f（u)/?u>+y<?f(v)/?v>=t^n-1 nf(x,y）
两边同乘以t得tx<?f（u)/?u>+yt<?f(v)/?v>=t^n nf(x,y）
换元得u<?f（u)/?u>+v<?f(v)/?v>=t^n nf(x,y）
再根据1式得u<?f（u)/?u>+v<?f(v)/?v>=nf（u，v）
再换元，得证 (其中？为偏导）