Question

任意一点P向圆x²+y²=1引切线PA、PB

过椭圆x²/9+y²/4=1上任意一点P向圆x²+y²=1引切线PA、PB，切点分别为A、B，M为AB的中点，若P在椭圆上运动，求动点M轨迹方程

Answer 1

根据已知得，PA⊥AO,AM⊥PO，

∴|MO|*|PO|=|OA|²=1。

设P(X0，Y0)，M(x，y)，

则√(x²+y²()*√(X0²+Y0²)=1

即x²+y²=1/(X0²+Y0²),

∵P在椭圆(x²/9)+(y²/4)=1上，

∴(x0²/9)+(y0²/4)=1

∴x²+y²=[(X0²/9)+(Y0²/4)]/(X0²+Y0²)      (把“1”换成“(x0²/9)+(y0²/4)”得到的)

∵O、M、P三点共线，

∴y/x=Y0/X0

∴变形为x²+y²=[(x²/9)+(y²/4)]/(x²+y²),

当P(0，±2)，M(0，±1/2)时，y/x没有意义，但是带入也满足

∴最终得M的轨迹方程为(x²+y²)²=x²/9+y²/4

最后一步变形看不懂的话，我把它写出来：

是根据y/x=Y0/X0得到的

[(X0²/9)+(Y0²/4)]/(X0²+Y0²)

=  X0²/[9(X0²+Y0²)]   +   Y0²/[4(X0²+Y0²)]

=  X0²/[9(X0²+Y0²)]   +   Y0²/[4(X0²+Y0²)]

= 1/[9(1 + Y0²/X0²)] + 1/[4(X0²/Y0² + 1)]      (上下同时约去分子)

= 1/[9(1 + y²/x²)] + 1/[4(x²/y² + 1)] 

= x²/[9(x²+y²)]   +   y²/[4(x²+y²)]

= (4x²+9y²)/[36(x²+y²)]

∴x²+y²=(4x²+9y²)/[36(x²+y²)]

36(x²+y²)²=(4x²+9y²)

(x²+y²)²=x²/9  +  y²/4

Answer 2

假设存在，则向量OA垂直于向量OB
即OA·OB＝0

利用设而不求的方法，根与系数关系，求出直线斜率k的关系式，并解。若有解，则存在；若无解，不存在。