Question

高二数学题，谢谢。

已知圆x的平方+y的平方+x-By+m=0和直线x+2y-3=0交于p.q两点。且op垂直oq，（o为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径。

Answer 1

已知圆x²+y²+x-By+m=0和直线x+2y-3=0交于p.q两点。且op⊥oq，（o为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径。
解:x²+y²+x-By+m=(x+1/2)²+(y-B/2)²-1/4-B²/4+m=0...........(1)
圆心:M(-1/2, B/2); 半径R=√[(1+B²)/4-m]
将直线 x=3-2y代入园的方程并化简得:
5y²-(14+B)y+12+m=0.....................................................(2)
设P(x₁,y₁); q(x₂,y₂),其中y₁,y₂是方程(2)的根,故
y₁+y₂=(14+B)/5;
y₁y₂=(12+m)/5;
x₁+x₂=(3-2y₁)+(3-2y₂)=6-2(y₁+y₂)=6-2(14+B)/5=(2-2B)/5
x₁x₂=(3-2y₁)(3-2y₂)=9-6(y₁+y₂)+4y₁y₂=9-6(14+B)/5+4(12+m)/5=(4m-6B+9)/5
∵op⊥oq,∴OP•Oq=x₁x₂+y₁y₂=(4m-6B+9)/5+(12+m)/5.=(5m-6B+21)/5=0
即有5m-6B+21=0...............................................................(3)
P,q在直线上,故有:
x₁+2y₁-3=0
x₂+2y₂-3=0
两式相加得 (x₁+x₂)+2(y₁+y₂)-6=0
代入x₁+x₂和y₁+y₂之值得: (2-2B)/5+(14+m)/5-6=0
化简得m-2B-14=0......................................................................(4)
由(3)和(4)解得B=-91/4, m=-63/2.
故得圆心M(-1/2, -91/8), 半径R=√[(16+8281)/64+63/2]=(√10313)/8≈12.69..

Answer 2

x²+y²+x-By+m=0 x+2y=3联立得到一个关于x的二次多项式
设p(x₁,y₁) q(x₂y₂)
因为op垂直oq
所以x₁x₂+y₁y₂=0
然后伟大定理