Question

在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(1,0),以OA为边在第一象限内作正方形OABC，

在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(1,0),以OA为边在第一象限内作正方形OABC，点D是x轴上一动点（OD＞1），连接BD，以BD为为边在第一象限内作正方形DBFE。设M为正方形DBFE的中心，直线MA交y轴于点N。如果定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形。
（1）试找出图一中的一个损矩形;
(2) 随着点D位置的变化，点N的位置是否发生变化？若没发生变化，求点N的坐标;若发生变化，请说明理由；
（3）在图2中过点M作MG⊥y轴于点G，连接DN，若四边形DMGN为损矩形，求D点的坐标。
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Answer 1

解：（1）从图中我们可以发现四边形ADMB就是一个损矩形．
∵点M是正方形对角线的交点，
∴∠BMD=90°，
∵∠BAD=90°，
∴四边形ADMB就是一个损矩形．

（2）取BD中点H，连接MH，AH．
∵四边形OABC，BDEF是正方形，
∴△ABD，△BDM都是直角三角形，
∴HA=BD，HM=BD，
∴HA=HB=HM=HD=BD，
∴损矩形ABMD一定有外接圆．
（3）∵损矩形ABMD一定有外接圆⊙H，
∴∠MAD=∠MBD，
∵四边形BDEF是正方形，
∴MBD=45°，
∴MAD=45°，
∴OAN=45°，
∵OA=1，
∴ON=1，
∴N点的坐标为（0，-1）．
（4）延长AB交MG于点P，过点M作MQ⊥x轴于点Q，
设点MG=x，则四边形APMQ为正方形，
∴PM=AQ=x-1，
∴OG=MQ=x-1，
∵△MBP≌△MDQ，
∴DQ=BP=CG=x-2，
∴MN2=2X2，
ND2=（2x-2）2+12，
MD2=（x-1）2+（x-2）2，
∵四边形DMGN为损矩形，
∴2x2=（2x-2）2+12+（x-1）2+（x-2）2，
∴2x2-7x+5=0，
∴x=2.5或x=1（舍去），
∴OD=3，
∴D点坐标为（3，0）．