Question

如图，已知AB是⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AC⌒＝AD⌒，CD交AB于E，BF⊥直线l，垂足为F，BF交⊙O于G

1.图中哪条线段与AE相等？证明。
2.若sin∠CBF=根号5/5，求AB

Answer 1

解：（1）FG=AE，理由如下：
连接CG、AC、BD；
∵
AC
=
AD
，
∴BA⊥CD，
∴
BC
=
BD
，即∠D=∠BCD；
∵直线L切⊙O于C，
∴∠BCF=∠D=∠BCD，
∴∠FBC=∠ABC，
∴
CG
=
AC
，CE=CF；
∴AC=CG；
△ACE和△GCF中，AC=CG、CE=CF，∠AEC=∠CFG，
∴Rt△AEC≌Rt△GCF，则AE=FG．

（2）∵FC切⊙O于C，
∴∠FCG=∠FBC，即sin∠FCG=sin∠CBF=五分之根号五；
在Rt△FCG中，FG=AE=4，CG=FG÷sin∠FCG=4倍根号五；
∴AC=CG=4倍根号五；
在Rt△ABC中，CE⊥AB，由射影定理得：
AC2=AE•AB，即AB=AC2÷AE=20．

(
AC=
AD）【表示弧AC=弧AD】