1＋1／2²＋1／3²＋···＋1／n²＝2
H（调和数）
n
1＋1／2²＋1／3²＋···＋1／n²＋···＝π＾2／6
证明：可以参见黎曼zeta函数。
一个有意思的推导是欧拉给出的。
考虑Sin（x）／x
泰勒展开后有sin（x）／x＝1－x＾2／3！＋．
另外，sin（x）／x在x＝nPi的时候有零点．我们假设可以用这些零点来表示sin（x）／x那么有
sin（x）／x＝（1－x／Pi）（1＋x／Pi）（1－x／（2Pi））（1＋x／（2Pi）．．．
（成立因为左边有右边的零点必须相同）。
也就等于（1－x＾2／Pi＾2）（1－x＾2／（4Pi＾2））．
展开上面的连积，然后取x＾2项目的系数有。
－（1／Pi＾2＋1／（4Pi＾2）＋1／（9Pi＾2）＋．）＝－1／Pi＾2（1＋1／4＋1／9＋．．．1／n＾2）
这个既然是x＾2项目的系数，自然应该等于1／3！＝1／6。
所以得到
1＋1／4＋1／9＋．＝Pi＾2／6。
或者：
函数f（x）＝－x，－π。
扩展资料
定理：
设n是一个正整数。如果定义在一个包含a的区间上的函数f在a点处n＋1次可导，那么对于这个区间上的任意x，都有
f（x）＝f（a）＋f′／1！（x−a）＋f（2）（a）／2！（x−a）2＋．．．＋fn（a）／n！（x−a）n＋Rn（x）
其中的多项式称为函数在a处的泰勒展开式，剩余的Rn（x）Rn（x）是泰勒公式的余项，是（x−a）n（x−a）n的高阶无穷小。
泰勒公式的定义看起来气势磅礴，高端大气。如果a＝0的话，就是麦克劳伦公式，即f（x）＝∑Nn＝0fn（0）／n！xn＋Rn（x）f（x）＝∑n＝0Nfn（0）／n！xn＋Rn（x），这个看起来简单一点。
更正一下: n平方分之一前n项和极限为六分之(pai的平方)
一)泰勒级数
首先是预备知识:
多项式 f(x) = a0 + a1x + a2x² + ....+ anx^n
由韦达定理，常数项a0=1时，f(x)=0根的倒数和 等于 一次项系数a1的相反数
将sinx按泰勒级数展开: sinx＝x－x^3/3!＋x^5/5!－x^7/7!＋ …
那么 sinx/x＝1－x^2/3!＋x^4/5!－x^6/7!＋ …
令y＝x^2, 有sin√y/√y＝1－y/3!＋y^2/5!－y^3/7!＋ …
由sinx＝0的根为0,±π,±2π,…
知 f(y)=sin√y/√y 的零点为 π²,(2π)²,(3π)²,…
由之前的韦达定理: 1/π²＋1/(2π)²＋(3π)²+…＝1/3!
整理一下: 1/1²+1/2²+1/3²+...=(1/3!)π²=π²/6 ,
二)傅里叶级数的请见下图
