Question

已知f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)-g(x)=(1/2)^x,则f(1),g(0),g(-1)之间的大小？

Answer 1

当x=1时，f(1)-g(1)=1/2 …… ①
当x=-1时，f(-1)-g(-1)=2 …… ②
因为f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数
f(x)=-f(x),g(x)=g(-x)
所以②=- f(1)-g(1)=2 …… ③
由③ ① 可得g(1)=-5/4 , f(1)=-3/4
当x=0时，f(0)-g(0)=1 ……④
f(x)是奇函数，所以关于原点对称
即f(0)=0 ……⑤
由④⑤可得
g（0）=-1
所以 f(1)>g(0)>g(-1)

Answer 2

解：当x=1时：f(1)-g(1)=1/2 即：f(1)-g(-1)=1/2 (1式）
当x=-1时：f(-1)-g(-1)=2即：-f(1)-g(-1)=2(2式）
联立（1）（2）式：f(1)=-3/4 g(-1)=-5/4
当x=0时，由定义在r上奇函数性质知：f(0)=0,
所以：f(0)-g(-0)=0-g(0)=1 可知 g(0)=-1
所以：f(1)>g(0)>g(-1) 。

Answer 3

由奇函数及偶函数性质知，f(0)=0.所以由 f(0)-g(0)=(1/2)^0 可得出 g(0)=-1;
再分别令x=1,-1,可得 f(1)-g(1)=1/2, f(-1)-g(-1)=2 即-f(1)-g(1)=2.
解方程组可得f(1)=-3/4 g(-1)=g(1)=-5/4
因此 g(-1)<g(0)<f(1)