Question

最值问题

已知函数f(x)={x^2+x-a+1 (x大于等于a)
x^2-x+a+1 (x小于等于a)
函数f(x)最小值为3，求a的值

Answer 1

f(x)={x^2+x-a+1 (x大于等于a)
x^2-x+a+1 (x小于等于a)
为增函数，
x^2+x-a+1 (x大于等于a)
当x=-1/2时取最小值
即1/4-1/2-a+1=3
a=-9/4＜x,符合题意。
x^2-x+a+1 (x小于等于a)
当x=1/2时取最小值
即1/4-1/2+a+1=3
a=7/4＞x,符合题意。
则已知函数f(x)={x^2+x-a+1 (x大于等于a)，a=-9/4
x^2-x+a+1 (x小于等于a),a=7/4。

Answer 2

函数f(x)=x^2+lx-al+1,x∈R
所以当x大于或等于a时，函数f(x)=x^2+x-a+1=(x+1/2)^2+3/4-a
由f(x)=(x+1/2)^2+3/4-a知f(x)最小值3/4-a
当x小于a时f(x)=x^2-x+a+1=(x-1/2)^2+3/4+a
由f(x)=(x-1/2)^2+3/4+a知f(x)的最小值3/4+a
比较两种情况下f(x)最小值：3/4-a和3/4+a
当a大于0时，题意要求的f(x)最小值是3/4-a
当a小于0时题意要求的f(x)最小值是3/4+a
当a=0时，题意要求的f(x)最小值是3/4

综上所述不存在这样的a