Question

如图所示 AB为圆O的直径 D是弧BC的中点 DE⊥AC交AC的延长线于点E 圆O的切线BF交AD的延长线于点E

圆O的切线BF交AD的延长线于点F
（1）求证：DE是圆O的切线
（2）若DE=3 圆O的半径为5 求BF的长

Answer 1

1 连结 OD
∵ OA=OD ∴ ∠ OAD=∠ ADO
∵ D是弧BC的中点 ∴∠ CAD= ∠ OAD
∴ ∠ CAD=∠A DO ∴ OD‖ AE
又 ∵ DE⊥AE
∴OD⊥DE ∴DE是圆O的切线
2 过D作DH⊥AB H为垂足
∵ D是弧BC的中点 ∴∠ CAD= ∠ OAD

∴DH=DE=3
在直角△ODH中∵ OD² =DH²+OH² ∴ 5² =3² +OH² ∴ OH=4 ∴ AH=5+4=9
∵ △ADH∽△ABF ∴ DH:BF=AH:AB ∴ 3:BF=9:10 ∴ BF=10/3