Question

微积分问题求助~~~~

(1)设函数f(x)=1/(1+x)+x^2∫(1到0)f(x)dx，求∫(1到0)f(x)dx。
(2)设f(x)=∫(x到1)lnt/(1+t^2)dt，证明f(1/x)=f(x)。

Answer 1

(1)设∫[0,1]f(x)dx=C
则C=∫[0,1]f(x)dx=∫[0,1]{1/(1+x)+x^2∫[0,1]f(x)dx}dx
=ln2+C∫[0,1]x^2dx
=ln2+C/3
故∫[0,1]f(x)dx=C=3/2*ln2
(2)f(x)=∫[1,x]lnt/(1+t^2)dt
f(1/x)=∫[1,1/x]lnt/(1+t^2)dt(令u=1/t)
=∫[1,x]ln(1/u)/[1+(1/u)^2]*(-1/u^2)du
=∫[1,x]lnu/(1+u^2)*du=f(x)

Answer 2

（1）先是求出f（x）的原函数F(X)=ln(1+x)+1/3*x^3 然后 所要求的值是F(1)-F(0)
（2）我猜你是高中生吧。那这道题就不能用求出原函数的方法来解决了，此时(令u=1/t) 然后、f(x)=∫(x到1)lnt/(1+t^2)dt就变成了f(x)=∫(1/x到1)lnu/(1+u^2)du 注意“∫(1/x到1）”的变化！
证毕