Question

已知向量a和b的夹角为120度，且|a|=4,|b|=2,求：（1）|a+b|;(2)|3a-4b|;(3)|(a+b)*(a+2b)|

Answer 1

向量a和b的夹角为120度，则：a*b=|a|*|b|*cos<a,b>=4*2*cos2π/3=-4，
而 a^2=|a|^2=16， b^2=|b|^2=4。所以
(1) |a+b|^2=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=16-2*4+4=12，
|a+b|=2√ 3；
(2) |3a-4b|^2=(3a-4b)^2=9a^2-24ab+16b^2=9*16+24*4+16*4=304，
|3a-4b|=4√19；
(3) |(a+b)*(a+2b)|=|a^2+3ab+2b^2|=|16-3*4+2*4|=12。

其实 向量数量积的运算与代数式的运算类似。也符合完全平方公式，平方差公式等。

Answer 2

根据题目信息，a和b的夹角为120度，即cos θ= -1/2。
(1)原式 = √ [ ( 向量a + 向量b )^2 ]
= √ ( 向量a|^2 + 2 · 向量a ·向量b + 向量b^2 )
= √ ( |a|^2 + 2||a||b|cos θ + |b|^2 )
= √ ( 4^2 + 2 · 4 · 2 · ( -1/2 ) + 2^2 )
= 2√ (3)
√ 表示根号。

(2)解法与(1)类似。

(3)绝对值符号内，(a+b)·(a+2b) 是两个向量的数量积，也就是一个实数，直接按照乘法法则去括号，参照(1)求出数量积，最后取绝对值即可。