Question

已知二次函数f(x)=ax2+bx满足条件①对任意x∈R,均有f(x-4)=f(2-x)②函数f(x)的图像与y=

Answer 1

已知二次函数f(x)=ax2+bx满足条件①对任意x∈R,均有f(x-4)=f(2-x)②函数f(x)的图像与y=x相切
f（x）的解析式

由对任意x∈R,均有f(x-4)=f(2-x)可知f(x)关于x=3对称,
因此f(x)=ax2+bx对称轴x=-b/(2a)=3，有b=-6a
由函数f(x)的图像与y=x相切得ax2+bx=x有两相等实根，
即化为x[ax+(b-1)]=0,x=-(b-1)/a=0,则b=1
所以a=-1/6,b=1,则f(x)=-1/6*x2+x

Answer 2

已知二次函数f(x)=ax2+bx满足条件
①对任意x∈R,均有f(x-4)=f(2-x)
②函数f(x)的图像与y=x相切
(1)求f（x）的解析式
(2)当且仅当x∈[4，m]（m＞4）时,f(x-t)≤x恒成立,试求t,m的值
解：由①，a(x-4)^2+b(x-4)=a(2-x)^2+b(2-x),
∴（2x-6)(-2a+b)=0,b=2a.
由②，ax^2+(2a-1)x=0的两根相等，∴a=1/2,b=1.
(1)f(x)=(1/2)x^2+x.
(2)f(x-t)=(1/2)(x-t)^2+x-t<=x,
∴(x-t)^2-2t=x^2-2tx+t^2-2t<=0当且仅当对x∈[4,m]成立，
∴4,m是关于x的方程x^2-2tx+t^2-2t=0的两根，
∴{4+m=2t,
{4m=t^2-2t,
解得t1=2,m1=0(舍）；t2=8,m2=12,为所求。

Answer 3

（1）由对任意x∈R,均有f(x-4)=f(2-x)可知f(x)关于x=3对称,因此f(x)=ax2+bx对称轴x=-b/(2a)=3，有b=-6a
由函数f(x)的图像与y=x相切得ax2+bx=x有两相等实根，即化为x[ax+(b-1)]=0,x=-(b-1)/a=0,则b=1
所以a=-1/6,b=1,则f(x)=-1/6*x2+x
（2）f(x-t)≤x恒成立，则化为1/6*（x-t）^2+t>=0在x∈[4，m]（m＞4）时恒成立，令F(x)=1/6*（x-t）^2+t，分为以下三类：
（i）t<=4时，F(x)min=F(4)>=0恒成立,求出t的范围
（ii）t>=m时，F(x)min=F(m)>=0恒成立，求出t和m的范围
(iii)4<t<m时，F(x)min=F(t)>=0恒成立,求出t和m的范围