Question

关于数学期望的题目

设二维随机变量（X,Y）的概率密度为
我不明白这个式子怎么来的
请高手指点
还有求P{X+Y≤1}
那么E(X+Y)怎么算呢。后面 [积分x,0]2(x+y)dy

Answer 1

E(X+Y)就是定义。E(X+Y)=[积分][x定义域][积分][y定义域]f(x,y)(x+y)dydx。由于f(x,y)只在某区域上非零，所以外面的积分[x从0到1]，里面的[y从0到x]。你图里那个是错的。（里面积分上标还有x呢，能把关于x的积分分离出来？开玩笑……）

P{X+Y≤1}=P{X≤1-Y}。因为已知f仅在y≤x时非零，所以y≤x≤1-y，y≤1/2。那么y从0积分到1/2，x从y积分到1-y。这样，P{X+Y≤1}=[积分][y=(0,1/2)][积分][x=(y,1-y)]f(x,y)dxdy=你懂的。

补充：都说了图里的是错的，没有后面，只有里面外面的积分。计算里面一层对y积分的时候当然就把x看做是常数了。[积分][y从0到x]f(x,y)(x+y)dy=[2xy+y^2](上x下0)=2x^2+x^2=3x^2，然后算外面的，[积分][x从0到1]3x^2 dx=x^3(上1下0)=1。