Question

平面上有两点A(-1,0),B(1,0),点P在圆周（x-3)^2+(y-4)^2=4上，求使AP^2+BP^2最小值时点P的坐标

Answer 1

设P点坐标(x,y)，P在圆周上，所以P满足(x-3)²+(y-4)²=4
PA²=(x+1)²+y² PB²=(x-1)²+y²
PA²+PB²=2x²+2y²+2
把圆的方程展开x²-6x+9+y²-8y+16=4→ x²+y²+1=6x+8y-20
PA²+PB²=4(3x+4y-10)
∵3x+4y≥2√12xy=4√3xy且当3x=4y时
∴代入圆的方程得P(21/5,28/5)

Answer 2

设P（x,y), 圆心C（3，4）
则AP^2+BP^2=（x+1)^2+y^2+(x-1)^2+y^2=2(x^2+y^2)+2
=2OP^2+2

注意：x^2+y^2的几何意义就是点P（x,y)与点（0，0）之间的距离的平方。

这样题目就转化为求OP的最小值。

由圆的知识可得：OP的最小值为：OC-r=5-2=3

所以：AP^2+BP^2的最小值为：20．

此时，O,P,C三点共线．
由直线OC：y=4x/3,与圆：（X-3）^2+（Y-4）^2=4可得交点P的坐标为：（9／5，12／5）

Answer 3

因为P在圆周（x-3)^2+(y-4)^2=4上
设P点坐标为（2sint+3,2cost+4)
则AP^2+BP^2=(2sint+3+1)^2+(2cost+4-0)^2+(2sint+3-1)^2+(2cost+4-0)^2
= 4sin^2 t+16sint+16+4cos^2 t+16cost+16+4sin^2 t+8sint+4+4cos^2 t+16cost+16
=4+16sint+16+16cost+16+4+8sint+4+16cost+16
=24sint+32cost+60
=8(3sint+4cost)+60
=40(3/5sint+4/5cost)+60 令costA=3/5 则4/5=√1-cos^2A=sinA
=40(sintcosA+costsinA)+60
=40sin(t+A)+60
因为最小，则sin(t+A)=-1
t+A=2kπ-π/2
t=2kπ-π/2-A A=arccos3/5 或A=arcsin4/5
2sint+3=2sin(2kπ-π/2-A)+3=2sin(-π/2-A)+3=-2cosA+3=-2cosarccos3/5+3=-6/5+3=9/5
2cost+4=2cos(2kπ-π/2-A)+4=2cos(-π/2-A)+4=-2sinA+4=-2sinarcsin4/5+4=-8/5+4=12/5
所以P点坐标是(9/5,12/5)

Answer 4

在ΔABP 中有AP²+BP²=1/2（4OP²+AB²） 即当OP 最小时， AP²+BP²取最小值，而OPmin=5-2=3，Px=3×3/5=9/5,Py=3×4/5=12/5,P(9/5,12/5)

Answer 5

设P点坐标(x,y)，P在圆周上，所以P满足(x-3)²+(y-4)²=4
PA²=(x+1)²+y²
PB²=(x-1)²+y²
PA²+PB²=2x²+2y²+2
把圆的方程展开x²-6x+9+y²-8y+16=4→
x²+y²+1=6x+8y-20
PA²+PB²=4(3x+4y-10)
∵3x+4y≥2√12xy=4√3xy且当3x=4y时
∴代入圆的方程得P(21/5,28/5)