Question

关于高等数学2道证明题求解

1.设f（x）在【0,1】上连续，且0<f(x)<1,证明至少存在一点x属于(0,1),使f(x)=x
2.设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续，且f(a)>g(a),f(b)<g(b),证明在（a，b）内。曲线y=f(x)
与y=g(x)至少有一个交点。
谢谢~~都忘了怎么解了

Answer 1

1 令g(x) =f(x) -x ，0<g(0)=f(0) <1 ,g(1) =f(1)-1<0 ，f(0)*f(1)<0 ,由连续函数的零点定理，
至少存在一点x属于(0,1),使g(x)=0 ,即f(x)=x
2令 h(x) = f(x)-g(x) ,h(a) =f(a) -g(a) > 0，h(b) =f(b) -g(b)<0，h(a)*h(b)<0
由连续函数的零点定理，在（a，b）内至少存在一点x0 使得 h（x0)=0
即 f(x0) =g(x0) , 也就是曲线y=f(x)与y=g(x)至少有一个交点。