Question

一道高中文科数学题

已知三角形ABC的三个内角A,B,C成等差数列，其外接圆半径为1，且有
sin A - sin C +[ (√2)/2 ]×cos (A-C) =(√2)/2
（1）求A的大小
（2）求三角形ABC的面积

Answer 1

有两种情况，
当公差=0时，A=B=C=60°
当公差≠0时，A=105°,B=60°,C=15°
A，B，C成等差数列，则：A+B+C=3B=180°
B=60°，A+C=120°
sinA-sinC+（√2/2）cos（A-C）
=2cos[(A+C)/2]sin[(A-C)/2]+（√2/2）cos（A-C）
=sin[(A+C)/2]+（√2/2）cos（A-C）
=sin[(A-C)/2]+（√2/2）-√2{sin[(A-C)/2]}^2
=√2/2
∴sin[(A-C)/2]-√2{sin[(A-C)/2]}^2=0
∴sin[(A-C)/2](1-√2sin[(A-C)/2])=0
得，A=C或A-C=90°
∴A=B=C=60°或A=105°,B=60°,C=15°

面积：设a，b，c为A，B，C的对边
a=b=c=2Rsin60°=√3
∴S=√3/4*a^2=3√3/4
或：
a=2sin105°，c=2sin15°
∴S=1/2acsinB=√3sin105°*sin15°
=-√3/2[cos(105°+15°)-cos(105°-15°)]
=√3/4

Answer 2

A+C=2B B+A+C=180的B=60，设它的公差为d,则A=60-d,C=60+d,cos(A-C)=cos2d,带入上式得sind=0或sin=—(√2)/2，当然前者满足条件d=0,所有是等边三角形。A=B=C=60.
sin A \a=sinB\b=2R即外接圆的半径。