Question

设函数f(x)=ax*3+bx+c(a不等于0)为奇函数，其图像在点(1,f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直，导函数f'(x)的

设函数f(x)=ax*3+bx+c(a不等于0)为奇函数，其图像在点(1,f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直，导函数f'(x)的最小值为-12. (1)求a,b,c的值;

解：因为是奇函数 所有c=0

f(x)'=3ax^2+b ,f'(1)=3a+b

x-6y-7=0的斜率是1/6,所以3a+b=-6 到这里为止 我都懂。可是下面就不懂了。

导函数f'(x)的最小值为-12 是什么意思。为什么a>0 ?

为什么f'(0)=b=-12 ?

求解答。希望可以说的清楚点。谢谢

Answer 1

其图像在点(1,f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直。可知，切线斜率K=-6
导函数f'(x)的最小值为-12
求导f(x)=ax*3+bx+c
f'(x)=3ax*2+b这是一个抛物线，你可以理解为y=3ax*2+b，要有最小值，开口必须向上所以a>0
最小值 的位置在抛物线的对称轴和抛物线的交点处，也就是这个点的纵坐标，这个点的横坐标公式为-b/2a=-b/6a
纵坐标为：公式：（4ac-b^2）/4a得（4*3a*b）/4*3a=-12。得b=-12
f(x)'=3ax^2+b ,f'(1)=3a+b
x-6y-7=0的斜率是1/6,所以3a+b=-6 得a=2
f(x)=2x*3-12x+c
又因为函数f(x)=ax*3+bx+c(a不等于0)为奇函数，奇函数图象关于原点（0，0）中心对称。他肯定是过（0，0）的了。
所以f(0)=0=c
所以f(x)=2x*3-12x

在解这类型的题目时，要看好题目给的条件，理解他给的隐藏条件

Answer 2

导函数f'(x)的最小值为-12 ，
是指二次函数 f(x)'=y=3ax^2+b的最小值为-12 。
你要知道：导函数也是函数。此题中的导函数就是一个二次函数。
因为二次函数 y=3ax^2+b中，如果a<0，则函数图象开口向下，
就没有最小值。所以a>0。
f'(0)=b=-12 ，即是二次函数 y=3ax^2+b在x=0的函数值，
也就是二次函数 y=3ax^2+b的最小值。

Answer 3

其图像在点(1,f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直。可知，切线斜率K=-6
导函数f'(x)的最小值为-12
求导f(x)=ax*3+bx+c
f'(x)=3ax*2+b这是一个抛物线，你可以理解为y=3ax*2+b，要有最小值，开口必须向上所以a>0
最小值 的位置在抛物线的对称轴和抛物线的交点处，也就是这个点的纵坐标，这个点的横坐标公式为-b/2a=-b/6a
纵坐标为：公式：（4ac-b^2）/4a得（4*3a*b）/4*3a=-12。得b=-12
f(x)'=3ax^2+b ,f'(1)=3a+b
x-6y-7=0的斜率是1/6,所以3a+b=-6 得a=2
f(x)=2x*3-12x+c
又因为函数f(x)=ax*3+bx+c(a不等于0)为奇函数，奇函数图象关于原点（0，0）中心对称。他肯定是过（0，0）的了。
所以f(0)=0=c
所以f(x)=2x*3-12x

Answer 4

f(x)的导函数为二次函数，当a<0时，其图像开口向下；当a>0时，其图像开口向上，只有开口向上时导函数才有最小值，所以a>0，f(x)'=3ax^2+b的图像是关于Y轴对称的且其开口向上，所以他的最小值为当x＝0时的值。

Answer 5

因为已知导函数的最小值为-12，而二次函数存在最小值的话，它的二次项系数则为正，函数图象开口向上，所以3a大于0。且取得最小值的位置是对称轴所在的X值，即X等于0，所以导函数在X等于0时取得最小值-12。