Question

求问一条概率的数学题目

假设B城市某一天的天气与前一天有关。若某天下雨，则下一天也下雨的概率是0.6，若某天不下雨，则下一天下雨的概率是0.2

求已知星期日不下雨，前两天的星期五下雨的概率？
求计算过程

Answer 1

事件：
A1={星期五下雨}, A2={星期六下雨}，A3={星期日下雨}
他们之间关系有条件概率：
P(A(i+1)|Ai)=0.6； P(A(i+1)|Ai')=0.2 (其中Ai'表示Ai的非)
[条件概率(Ai发生时A(i+1)的概率)=P{Ai与A(i+1)都发生}/P{Ai发生}]
【P(A(i+1) | Ai)=P(A(i+1)Ai)/P(Ai)】
[1] P(A2|A1) = P(A1A2)/P(A1) = 0.6
[2] P(A2|A1') = P(A1'A2)/P(A1') =0.2
[3] P(A3|A2) = P(A2A3)/P(A2) = 0.6
[4] P(A3|A2') = P(A2'A3)/P(A2')=0.2
而且由此可以显然知道
[5] P(A2'|A1)=P(A1A2')/P(A1)=0.4
[6] P(A3'|A2)=P(A2A3')/P(A2)=0.4
[7] P(A3'|A2')=P(A2'A3')/P(A2')=0.8
[8] P(A2'|A1')=P(A1'A2')/P(A1')=0.8

由全概率公式:
在A1条件下，A3'概率为
p(3'|1)=P(A3'|A1)=P(A2|A1)P(A3'|A2)+P(A2'|A1)P(A3'|A2')
=0.6*0.4+0.4*0.8 = 0.24+0.32
=0.56

同理在A1'条件下A3'概率
p(3'|1')=P(A3'|A1')=P(A2|A1')P(A3'|A2)+P(A2'|A1')P(A3'|A2')
=0.2*0.4+0.8*0.8=0.08+0.64
=0.72

设p(A1)=p
P(A3')=P(A3'|A1)p+P(A3'|A1')(1-p)=0.56p+0.72(1-p)=0.72-0.16p

于是所求概率为：
【*】
p(1|3')=P(A1|A3')=P(A1A3')/P(A3')
=P(A3'|A1)P(A1)/P(A3')
=0.56p/(0.72-0.16p)

判断后验概率应该给出3个条件，其中包括先验概率。
即：应给出没有任何条件影响的情况下独立事件{某天下雨}的概率是多少，这样才有可能根据条件{星期日不下雨}对{星期五是否下雨}以新的估计。

由于题目中无其他暗示条件，按照p=0.5
即独立事件(不受影响的)一天{下雨}的概率为50%
带入【*】式计算解得结果为：
【p(1|3')=0.28/0.64=43.75%】

Answer 2

0.5

Answer 3

这种题一般画个几何面积图分析一下。倒退可知如果星期日不下雨，前一天下雨的概率是0.4/(0.4+0.8)=1/3,那么星期五下雨的概率就是1/3*3/4+2/3*1/3=17/36

Answer 4

解：顺着推。令星期五下雨，星期天不下雨
则星期六有下雨和不下雨两种情况：
下雨时：0.4*0.8=0.32；
不下雨时：0.6*0.4=0.24
所以总的概率为：0.4*0.8+0.6*0.4=0.56

Answer 5

设A为星期日不下雨，B为星期六不下雨，B*为星期六下雨，C为星期五下雨
P(C|A)=P(AC)/P(A)=P(AC)=P(C)
无法求出