Question

已知：在四边形ACBD中，角ACB+角ADB=180度，连AB，CD 1。当角ABC=角BAC=60度时，求证：DC平分角ADB 2。在1

已知：在四边形ACBD中，角ACB+角ADB=180度，连AB，CD
1。当角ABC=角BAC=60度时，求证：DC平分角ADB
2。在1的条件下，过点A作AH垂直于CD，垂足为H，延长AH交BC于E，连接BH并延长交AC于F，若AF=CE，AD=4，求CD的长

Answer 1

(1)◆解法1(用四点共圆):

∵∠CAB=∠CBA=45º.
∴∠ACB=90º;
又∠ACB+∠ADB=180º.(已知)
∴∠ADB=90º.则点A,D,B,C在以AB为直径的同一个圆上.
∴∠ADC=∠ABC=45º.
◆解法2:(用三角形全等)∠CAB=∠CBA=45º,则AC=BC;∠ACB=90º.
∵∠ACB=90º;∠ADB+∠ACB=180º.
∴∠ADB=90º.作CM⊥AD于M,CN⊥DB的延长线于N.
则四边形CMDN为矩形,∠MCN=90º=∠ACB.
∴∠ACM=∠BCN;又AC=BC,∠AMC=∠BNC=90º.
故⊿AMC≌⊿BNC(AAS),CM=CN.
∴∠ADC=∠NDC=45º.(到角两边距离相等的点在这个角的平分线上)
【注:这第一问只是个填空题,直接写结果即可,不必写过程.】
(2)证明:作CM⊥AD于M,CN⊥DB的延长线于N.
则:∠CMD+∠CND=180º,∠MCN+∠ADB=180º;
又∠ACB+∠ADB=180º(已知)
∴∠ACB=∠MCN,得:∠ACM=∠BCN;
又AC=BC;∠AMC=∠BNC=90º.
∴⊿AMC≌⊿BNC(AAS),CM=CN.
故:DC平分∠ADB.(到角两边距离相等的点在这个角的平分线上)
(3)解:∵DC平分∠ADB(已证);∠ADB=180º-∠ACB=120º.
∴∠ADH=60º;又AH⊥CD.
∴∠DAH=30º,DH=AD/2=2;
∵AF=CE,AB=BC,∠FAB=∠ECA=60º.
∴⊿FAB≌⊿ECA(SAS),∠ABF=∠CAE.
则:∠AHF=∠ABF+∠BAH=∠CAE+∠BAH=60º.
∴∠BHD=30º=∠DAH;又∠BDH=∠ADH=60º.
故:∠DBH=90º,BD=DH/2=1.延长BD到G,使DG=DA=4,连接AG.
则⊿ADG为等边三角形,AG=AD;∠GAD=∠BAC=60º.
∴∠GAB=∠DAC;又AB=AC.
∴⊿GAB≌⊿DAC(SAS),CD=BG=BD+DE=1+4=5.

Answer 2

1,角ABC=角BAC=60度->ABC为等边三角形
角ABC=角BAC=60度->DBA=DAB=30度 ->三角形DBA为等边三角形
AD=BD AC=BC 角CBA=角CAD 三角形ADB全等于三角形BDC ->角BDC=角ADC
所以CD平分角ADB