求解一道高一数学题(急)
以知定义在(0,+∞)上的函数f(x),对于任意m,n∈(0,+∞),都有f(m·n)=f(m)+f(n)成立,且当x>1时,f(x)<0(1)求证1是函数f(x)的零点...
以知定义在(0,+∞)上的函数f(x),对于任意m,n∈(0,+∞),都有f(m·n)=f(m)+f(n)成立,且当x>1时,f(x)<0
(1)求证1是函数f(x)的零点
(2)证明f(x)是(0,+∞)上的减函数
(3)当f(2)=1/2时,解不等式f(x^2-3x)>1
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(1)求证1是函数f(x)的零点
(2)证明f(x)是(0,+∞)上的减函数
(3)当f(2)=1/2时,解不等式f(x^2-3x)>1
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(1),因为 f(m·n)=f(m)+f(n),
在上式中,令m=n=1,即f(1)=f(1)+f(1),
可得:f(1)=0。
所以1是函数f(x)的零点。
(2),在f(m·n)=f(m)+f(n)中,令n=1/m,则:
f(m)+f(1/m)=f(1)=0,f(m)=-f(1/m)。
因为对于任意m∈(0,+∞),
当m>1时,0<1/m<1,故 0<1/m<m;
当0<m<1时, 1/m>1,故 0<m<1/m 。
又 当x>1时,f(x)<0,
而 当m>1时,0<1/m<m,有f(m)<0,f(1/m)>0, f(m)<f(1/m);
当0<m<1时,0<m<1/m,有f(1/m)<0,f(m)>0, f(m)>f(1/m);
所以由减函数的定义,可知:f(x)是(0,+∞)上的减函数。
(3),f(2)=1/2,则:f(4)=f(2)+f(2)=1,
f(x^2-3x)>1=f(4),
因为f(x)是(0,+∞)上的减函数,
所以 x^2-3x<4,
(x+1)(x-4)<0,
-1<x<4。
又x∈(0,+∞),
所以 0<x<4。
故不等式的解集为:(0,4)。
在上式中,令m=n=1,即f(1)=f(1)+f(1),
可得:f(1)=0。
所以1是函数f(x)的零点。
(2),在f(m·n)=f(m)+f(n)中,令n=1/m,则:
f(m)+f(1/m)=f(1)=0,f(m)=-f(1/m)。
因为对于任意m∈(0,+∞),
当m>1时,0<1/m<1,故 0<1/m<m;
当0<m<1时, 1/m>1,故 0<m<1/m 。
又 当x>1时,f(x)<0,
而 当m>1时,0<1/m<m,有f(m)<0,f(1/m)>0, f(m)<f(1/m);
当0<m<1时,0<m<1/m,有f(1/m)<0,f(m)>0, f(m)>f(1/m);
所以由减函数的定义,可知:f(x)是(0,+∞)上的减函数。
(3),f(2)=1/2,则:f(4)=f(2)+f(2)=1,
f(x^2-3x)>1=f(4),
因为f(x)是(0,+∞)上的减函数,
所以 x^2-3x<4,
(x+1)(x-4)<0,
-1<x<4。
又x∈(0,+∞),
所以 0<x<4。
故不等式的解集为:(0,4)。
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