Question

已知函数f(x)(x属于R，且x大于0),对于定义域内任意x.y，恒有f(x+y)=f(x)+f(y)，

并且x大于1 时，f(x)大于0恒成立
（1）求f（1）
（2）证明方程f(x)=0有且仅有一个实根
（3）若x属于【1，正无穷）时，不等式f((x方+2x+a）/x)大于0恒成立，求实数a的取值范围

Answer 1

1、令x=1代入，有f(1)=0；
2、可以证明此函数是单调的。证明如下：取m>n>0，则f(m)-f(n)=f[(m－n+n)]-f(n)=f(m-n)+f(n)-f(n)=f(m-n)，由于m-n>0时有f(m-n)>0，所以f(m)>f(n)，即函数在(0，＋∞)单调递增。
注：你的题目好像有问题啊。单调增未必方程f(x)=0有解啊。
3、不等式f((x方+2x+a）/x)大于0恒成立等价于((x方+2x+a）/x)>1恒成立，即x²+2x+a>x在区间[0，＋∞)上恒成立。这是二次函数问题。即a>－x²－x，那就只要求出函数－x²－x在区间[0，＋∞)上的最大值。