Question

如图，直线y=kx-1与x轴.y轴分别交于B.C两点，OB：BC=1/2。

（1）求B点的坐标和k的值
（2）若动点A（x,y）是第一象限内的直线y=kx-1上的一个动点，当点A运动过程中，试写出三角形AOB的面积S与x的函数关系式。
（3）探索：
①当点A运动到什么位置时，三角形AOB的面积是1/4。
②在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，是三角形POA是等腰三角形，若存在请写出满足条件的所有P点的坐标，若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）由题意 OB：BC=1/2 在直角三角形OBC中可求得 角OBC=60度
k=tan角OBC=tan60=根号3 所以 直线y=kx-1=(根号3)x-1
令y=0 即得B点的横坐标 1/k =根号3/3 所以B=（根号3/3,0）
（2）对于三角形AOB 它的底边为OB =根号3/3 ，它的高就是A的纵坐标 即为 y =(根号3)x-1
所以 S=（1/2）（根号3/3）y =(3x-根号3)/6
(3) 由（2）可知 S=1/4 即 (3x-根号3)/6=1/4 解得x=(3+2根号3)/6 A在直线上 把x=(3+2根号3)/6代入 直线 求得A的纵坐标 为y=根号3/2 即A=（(3+2根号3)/6，根号3/2）
在x轴上存在两点这样的P设为（x,0）
第一点是 使OP=OA 这时 有x^2=((3+2根号3)/6 )^2+(根号3/2)^2=(4+根号3)/3 P的坐标为（根号（(4+根号3)/3）,0）
第二点是 使AP=OA 这时 由对称性 有P的横坐标为A的横坐标的两倍即为(3+2根号3)/3 P的坐标就为（(3+2根号3)/3,0）

Answer 2

解：（1）在y=kx-3中，令x=0，则y=-3，故C的坐标是（0，-3），OC=3，
∵OBOC=12，
∴OB=32，则B的坐标是：（32，0），
把B的坐标代入y=kx-3，得：32k-3=0，解得：k=2；

（2）OB=32，
则S=12×32（2x-3）=32x-94；

（3）①根据题意得：32x-94=94，解得：x=3，则A的坐标是（3，3）；
②OA=32+32=32，
当O是△AOP的顶角顶点时，P的坐标是（-32，0）或（32，0）；
当A是△AOP的顶角顶点时，P与过A的与x轴垂直的直线对称，则P的坐标是（6，0）；
当P是△AOP的顶角顶点时，P在OA的中垂线上，OA的中点是（32，34），
与OA垂直的直线的斜率是：-12，设直线的解析式是：y=-12x+b，把（32，34）代入得：34=-12×32+b，
解得：b=32，
则直线的解析式是：y=-12x+32，令y=0，解得：x=3，则P的坐标是（3，0）．
故P的坐标是：（-32，0）或（32，0）或（6，0）或（3，0）．

Answer 3

解：（1）∵y=kx-1与y轴相交于点C，
∴OC=1；
∵tan∠OCB=12=
OBOC，
∴OB=12；
∴B点坐标为：(
12，0)；
把B点坐标为：(
12，0)代入y=kx-1得：k=2；

（2）∵S=12•OB•|y|，y=kx-1，
∴S=12×12|2x-1|；
∴S=|12x-14|；

（3）①当S=14时，12x-14=14，
∴x=1，y=2x-1=1；
∴A点坐标为（1，1）时，△AOB的面积为14；
②存在．
满足条件的所有P点坐标为：
P1（1，0），P2（2，0），P3（2，0），P4（-
2，0）．（12分）

Answer 4

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