Question

对于任意的x∈R,不等式2x^2-a(x^2+1)^1/2+3>0恒成立。则实数a的取值范围是__________

对于任意的x∈R,不等式2x^2-a(x^2+1)^1/2+3>0恒成立。则实数a的取值范围是__________

Answer 1

2x^2-a(x^2+1)^1/2+3>0对x∈R恒成立
即（2x^2-a(x^2+1)^1/2+3）min>0
令f（x）=2x^2-a(x^2+1)^1/2+3
令t=（x^2+1）^1/2，则x^2=t^2-1（t≥1）
则f（x）=2（t^2-1）-at+3=2t^2-at+1（对称周X=a/4）
当a/4≥1时，a≥4
△＜0，解得4≤a＜2根号2
当a/4＜1时，a＜4
f（1）＞0，解得a＜3
综上所述，a＜3
（可能有不对的地方，多多指教:-D）

Answer 2

令t=(x^2+1)^1/2,则t≥1,x²=t²-1
2(t²-1)-at+3>0,t≥1
2t²-at+1>0,t≥1
a<2t+1/t,t≥1
可用二楼做法,但要讨论清楚
下面用导数求
f(t)=2t+1/t,t≥1
f'(t)=2-1/t²≥1>0,故f(t)=2t+1/t在t≥1上为增函数，f(t)最小值f(1)=3
f(t)=2t+1/t≥3
故a<3

Answer 3

系数分离，2x^2-a(x^2+1)^1/2+3>0，得：a<[2x²＋3]/(x^2+1)^1/2=[(2x²+2)+1]/(x^2+1)^1/2，在分开，用基本不等式即可。