Question

数学好的来看看 回答得对加高分！！！！

已知x属于[0，1} 函数f(x)=x2-ln(x+1/2) g(x)=x3-3a2x-4a
1、求f(x)的单调区间和值域
2、设a<=-1,若任意x1属于[0,1]，总存在x0属于[0,1]，使g(x0)=f(x1)成立，求a范围
3、对任意正整数n，证明ln(1/n+1/2)>1/n^2-2/n-1
兄弟 继续

Answer 1

(1)f'(x)=2x-1/(x+1/2)=2(2x-1)(x+1)/(2x+1)
其中x+1>0,2x+1>0
x∈(0,1/2)时,f'(x)<0,f(x)递减；x∈(1/2,0)时,f'(x)>0,f(x)递增。
f(0)=-ln(1/2)=ln2,f(1)=1-ln(3/2)=ln2+1-ln3<ln2=f(0);f(1/2)=1/4
所以f(x)减区间为(0,1/2)，增区间为(1/2,1),值域为[1/4,1+ln2-ln3],
(2)x∈[0,1]时，g'(x)=3x^2-3a^2=3(x+a)(x-a)
而a<=-1,x+a<=0,x-a>=0,g'(x)<=0, g(x)递减
g(x)值域为[-3a^2-4a+1,-4a]
而又对任意x1属于[0,1]，总存在x0属于[0,1]，使g(x0)=f(x1)成立，
所以g(x)的值域包含f(x)的值域，有-3a^2-4a+1<=1/4,-4a>=1+ln2-ln3
解得,a<=-3/2
(3)1/n∈(0,1]
f(1/n)<=1+ln2-ln3
所以1/n^2-ln(1/n+1/2)<=1+ln2-ln3
ln(1/n+1/2)>=1/n^2-1+ln3-ln2>1/n^2-1>1/n^2-2/n-1

Answer 2

1、（0,1/2]OR[1/2，1）