Question

设椭圆x^2/a^2+ y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1、F2,

设椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,A是椭圆上的一点且在X轴上方，AF2⊥F1F2,远点O到直线AF1的距离为1/3|OF1|.
(2）若左焦点F1（-1，0），设过点F1且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于B、C两点，线段BC的垂直平分线与X轴交于点G，求G点的横坐标的取值范围。

Answer 1

解：设焦距|F1F2|=2c
sin∠AF1F2=1/3|OF1|/|OF1|=1/3
∴tan∠AF1F2=√2/4
即|AF2|/|F1F2|=√2/4，即|AF2|=√2/4×2c=c√2/2
∴由勾股定理可知：|AF1|²=|AF2|²+|F1F2|²=c²/2+4c²=9c²/2
∴|AF1|=3c√2/2
∴2a=|AF1|+|AF2|=2c√2，即a=c√2
∴a²=2c²,b²=a²-c²=c²
∵c=1
∴椭圆方程为：x²/2+y²=1，即x²+2y²=2
设线段BC的斜率为k(k≠0)，则其所在的直线为y=k(x+1)
联立得：x²+2k²(x+1)²=2，即(2k²+1)x²+4k²x+2k²-2=0
设B(x1,y1),C(x2,y2)
则x1+x2=-4k²/(2k²+1)
则y1+y2=k(x1+1)+k(x2+1)=k(x1+x2)+2k=2k/(2k²+1)
则BC中点坐标为(-2k²/(2k²+1),k/(2k²+1))
垂直与BC的直线的斜率为-1/k
则这条直线为：y-k/(2k²+1)=-1/k*[x+2k²/(2k²+1)]
令y=0，解得x=-k²/(2k²+1)=-1/(2+1/k²)
∵k²>0，∴1/k²>0，∴2+1/k²>2，∴0<1/(2+1/k²)<1/2，∴-1/2<-1/(2+1/k²)<0
即G点横坐标的取值范围为(-1/2,0)