Question

已知函数f(x)=x^2/2+ax+b,其中a,b∈R,g(x)=e^x（e是自然对数的底数）

（1）当b＜a＜1时，f(1)=0,且函数y=2f(x)+1有零点，证明：-3/2＜b≤-1/2
（2）当b=1时，若不等式f(x)≤g(x)在x∈[1/2,+无穷)上恒成立，试求a的取值范围

Answer 1

已知函数f(x)=x^2/2+ax+b,其中a,b∈R,g(x)=e^x,
（1）当b＜a＜1时，f(1)=0,且函数y=2f(x)+1有零点，证明：-3/2＜b≤-1/2
（2）当b=1时，若不等式f(x)≤g(x)在x∈[1/2,+∞)上恒成立，试求a的取值范围
解:(1).由f(1)=(1/2)+a+b=0,得a+b=-1/2,故a=-b-1/2............(1)
又b＜a＜1,故b＜-b-1/2＜1,故-3/2＜b＜-1/4.....................(2)
y=2f(x)+1=x²+2ax+2b+1=0有根,故其判别式△=2a²-4(2b+1)=2a²-8b-4≥0
即a²-4b-2≥0,将(1)代入,(-b-1/2)²-4b-2=b²+b+(1/4)-4b-2=b²-3b-(7/4)≥0
即4b²-12b-7=(2b-7)(2b+1)≥0,由此得b≤-1/2或b≥7/2......(3)
(2)∩(3)=-3/2＜b≤-1/2.故证.
解:(2). x²/2+ax+1≤e^x,.........(1) (1/2≤x＜+∞)
即x²+2ax+2=(x+a)²-a²+2≤2e^x
e^x是增函数.且x=1/2时.2e^x=2√ e.
要使不等式(1)恒成立,只需x=1/2时,1/4+a+2=a+9/4＜2√ e,即a＜2(√ e)-(9/4).......(1)
及-a＞1/2, 即a＜-1/2........(2)
(1)∩(2)=a＜-1/2.

Answer 2

（1）因为b＜a＜1，所以f(1)=a+b+1/2 所以a=-b-1/2 所以b＜（-b-1/2 ）＜1 所以-3/2<b<-1/4
因为y=2f(x)+1=x²+2ax+2b+1有零点 即Δ≥0 解得b≥3/2或b≤-1/2
所以求得：-3/2＜b≤-1/2
（2）