Question

已知：在平面直角坐标系中，抛物线y=ax^2-x+3交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且对称轴为直线x=-2。

已知：在平面直角坐标系中，抛物线y=ax^2-x+3交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且对称轴为直线x=-2。
（1）求该抛物线的解析式及顶点D的坐标
(2)若P（0,t)是y轴上的一个动点，请进行如下探究：
探究一：如图1，设三角形PAD的面积为S，令W=t.s,当0<t<4时,w是否有最大值?如果有,求出w的最大值和此时T的值,如果没有,说明理由.
探究二:如图2,是否存在以P,A,D为顶点的三角形与RT△AOC相似?如果存在,求点P的坐标,如果怒存在,请说明理由.
(参考资料:抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)对称轴是直线x=-b/2a)

Answer 1

已知：在平面直角坐标系中，抛物线y=ax^2-x+3交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且对称轴为直线x=-2。
（1）求该抛物线的解析式及顶点D的坐标
解析：∵抛物线y=ax^2-x+3交x轴于A、B两点，交y轴于点C
∴A(x1,0)，B(x2,0)，C(0,3)
又对称轴为直线x=-2
∴-b/(2a)=-2==>b=4a==>a=b/4=-1/4
∴抛物线为y=-1/4x^2-x+3
顶点坐标D(-2,4)

(2)若P（0,t)是y轴上的一个动点，请进行如下探究：
探究一：如图1，设三角形PAD的面积为S，令W=t.s,当0<t<4时,w是否有最大值?如果有,求出w的最大值和此时T的值,如果没有,说明理由.
解析：∵P(0,t),t∈(0,4)
过D作DE⊥X轴，交X轴于E，交PA于H
由（1）得A(-6,0),B(2,0)
AE/EO=AH/HP=2
X(H)=-2,y(H)=2t/3
|DH|=4-2t/3,|AO|=6
∴S(⊿PAD)=1/2*|DH|*|AO|=12-2t
∵W=ts=12t-t^2=-(t-6)^2+36
显然当t∈(0,4)时，W无最大值

探究二:如图2,是否存在以P,A,D为顶点的三角形与RT△AOC相似?如果存在,求点P的坐标,如果怒存在,请说明理由.
解析：在⊿PAD中，若∠DAP=90°，则t<0
当∠ADP=90°时，则4+(4-t)^2+16+16=36+t^2==>(4-t)^2=t^2==>t=2
∴存在以P,A,D为顶点的三角形与RT△AOC相似,此时P(0,2)

Answer 2

楼上，之前的都是错的

分析：（1）由抛物线的对称轴求出a，就得到抛物线的表达式了；
（2）①下面探究问题一，由抛物线表达式找出A，B，C三点的坐标，作作DM⊥y轴于M，再由面积关系：SPAD=S梯形OADM-SAOP-SDMP得到t的表达式，从而W用t表示出来，转化为求最值问题．
②难度较大，运用分类讨论思想，可以分三种情况：
（1）当∠P1DA=90°时；（2）当∠P2AD=90°时；（3）当AP3D=90°时；思路搞清晰问题就好解决了．
解答：解：（1）∵抛物线y=ax2-x+3（a≠0）的对称轴为直线x=-2．
∴--12a=-2，
∴a=-14，
∴y=-14x2-x+3．
∴D（-2，4）．
（2）探究一：当0＜t＜4时，W有最大值．
∵抛物线y=-14x2-x+3交x轴于A、B两点，交y轴于点C，
∴A（-6，0），B（2，0），C（0，3），
∴OA=6，OC=3．（4分）
当0＜t＜4时，作DM⊥y轴于M，
则DM=2，OM=4．
∵P（0，t），
∴OP=t，MP=OM-OP=4-t．
∵S三角形PAD=S梯形OADM-S三角形AOP-S三角形DMP
=12(DM+OA)•OM-12OA•OP-12DM•MP
=12(2+6)×4-12×6×t-12×2×(4-t)
=12-2t（6分）
∴W=t（12-2t）=-2（t-3）2+18
∴当t=3时，W有最大值，W最大值=18．
探究二：
存在．分三种情况：
①当∠P1DA=90°时，作DE⊥x轴于E，则OE=2，DE=4，∠DEA=90°，
∴AE=OA-OE=6-2=4=DE．
∴∠DAE=∠ADE=45°，AD=2DE=42，
∴∠P1DE=∠P1DA-∠ADE=90°-45°=45度．
∵DM⊥y轴，OA⊥y轴，
∴DM∥OA，
∴∠MDE=∠DEA=90°，
∴∠MDP1=∠MDE-∠P1DE=90°-45°=45度．
∴P1M=DM=2，P1D=2DM=22．
此时OCP1D=OAAD=324，
又因为∠AOC=∠P1DA=90°，
∴Rt△ADP1∽Rt△AOC，
∴OP1=OM-P1M=4-2=2，
∴P1（0，2）．
∴当∠P1DA=90°时，存在点P1，使Rt△ADP1∽Rt△AOC，
此时P1点的坐标为（0，2）
②当∠P2AD=90°时，则∠P2AO=45°，
∴P2A=OAcos45°=62，
∴P2AOA=626=2．
∵ADOC=423，
∴ADOC≠P2AOA．
∴△P2AD与△AOC不相似，此时点P2不存在．（12分）（结论（1分），过程1分）
③当∠AP3D=90°时，以AD为直径作⊙O1，则⊙O1的半径r=AD2=22，
圆心O1到y轴的距离d=4．
∵d＞r，
∴⊙O1与y轴相离．
不存在点P3，使∠AP3D=90度．
∴综上所述，只存在一点P（0，2）使Rt△ADP与Rt△AOC相似．
可以根据这个http://www.jyeoo.com/Math/Ques/Detail/fd290bb3-b24f-4c00-840c-7bd4076dc59a

Answer 3

已知：在平面直角坐标系中，抛物线y=ax^2-x+3交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且对称轴为直线x=-2。
（1）求该抛物线的解析式及顶点D的坐标
解析：∵抛物线y=ax^2-x+3交x轴于A、B两点，交y轴于点C
∴A(x1,0)，B(x2,0)，C(0,3)
又对称轴为直线x=-2
∴-b/(2a)=-2==>b=4a==>a=b/4=-1/4
∴抛物线为y=-1/4x^2-x+3
顶点坐标D(-2,4)

(2)若P（0,t)是y轴上的一个动点，请进行如下探究：
探究一：如图1，设三角形PAD的面积为S，令W=t.s,当0<t<4时,w是否有最大值?如果有,求出w的最大值和此时T的值,如果没有,说明理由.
解析：∵P(0,t),t∈(0,4)
过D作DE⊥X轴，交X轴于E，交PA于H
由（1）得A(-6,0),B(2,0)
AE/EO=AH/HP=2
X(H)=-2,y(H)=2t/3
|DH|=4-2t/3,|AO|=6
∴S(⊿PAD)=1/2*|DH|*|AO|=12-2t
∵W=ts=12t-t^2=-(t-6)^2+36
显然当t∈(0,4)时，W无最大值

探究二:如图2,是否存在以P,A,D为顶点的三角形与RT△AOC相似?如果存在,求点P的坐标,如果怒存在,请说明理由.
解析：在⊿PAD中，若∠DAP=90°，则t<0
当∠ADP=90°时，则4+(4-t)^2+16+16=36+t^2==>(4-t)^2=t^2==>t=2
∴存在以P,A,D为顶点的三角形与RT△AOC相似,此时P(0,2)