Question

解方程组：x=2z²/(1+z²),y =2x²/(1+x²),z =2y²/(1+y²）.

谢谢，大侠！

Answer 1

此方程组为循环对称式，即将方程组中的字母顺次用x来替换y、用y替换z、用z替换x，则所得到的方程组不变。这样的方程组满足x=y=z，解得x=y=z=1或x=y=z=0。

Answer 2

首先 若X=0 因1+z²>0=>Z=0 ;Y=0 =>(0,0,0)当然解
当X≠0=>X>0;Y>0;Z>0
=>1/X=1/(2z²)+ 1/2 ; 1/Y=1/(2x²)+ 1/2 ;1/Z=1/(2y²)+ 1/2
=> 2/X=1/z²+ 1 ; 2/Y=1/x²+ 1 ;2/Z=1/y²+ 1
=>0=1/z²+ 1 -2/X; 0=1/x²+ 1-2/Y ;0=1/y²+ 1-2/Z
=>三式和 (1/Z - 1)²+(1/X - 1)²+(1/Y - 1)²=0 =>Z=1,X=1,Y=1 =>解(1,1,1)
ANS: (0,0,0);(1,1,1)

Answer 3

当x，y，z中至少有一个为零时，不妨设x=0，则x=y=z=0，x=y=z=0是方程组的一组解
当x，y，z不为零时，令a=1/x,b=1/y,c=1/z
将方程组的方程取倒数，有2a=1+c^2,2b=1+a^2,2c=1+b^2
将3个方程相加，有2a+2b+2c=3+a^2+b^2+c^2,
(a-1)^2+(b-1)^2+(c-1)^2=0
所以a=b=c=1,x=y=z=1
综上x=y=z=0或x=y=z=1

Answer 4

x=y=z=1