Question

求证sin四次方α+cos四次方α=1-2sin²αcos²α

Answer 1

解：sin四次方α+cos四次方α= （sin²α+cos²α）²-2sin²αcos²α ---完全平方公式

（sin²α+cos²α）² =（sinα+cosα）² -2sinαcosα
sinα =a/c ,cosα=b/c (a,b,c为直角三角形的三条边，a,b为直角边，c为斜边）

所以（sinα+cosα）² -2sinαcosα=（a/c+b/c)²-2*(a/c)*(b/c) = (a²+b²)/c² =1
(因为直角三角形三边满足 a²+b²=c² )

所以sin四次方α+cos四次方α= （sin²α+cos²α）²-2sin²αcos²α=1- 2sin²αcos²α

Answer 2

(sina)^4+(cosa)^4
=[(sina)^2]^2+[(cosa)^2]^2
=[(sina)^2+(cosa)^2]^2-2*(sina*cosa)^2
=1-2*(sina*cosa)^2

∴(sina)^4+(cosa)^4=1-2sin²αcos²α