Question

对于任意的x∈R,不等式2x^2-a(x^2+1)^1/2+3>0恒成立。则实数a的取值范围是__________

对于任意的x∈R,不等式2x^2-a(x^2+1)^1/2+3>0恒成立。则实数a的取值范围是__________

Answer 1

使用分离参数法
2x^2-a(x^2+1)^1/2+3>0，
a(x^2+1)^1/2<2x^2+3
a<(2x^2+3) /(x^2+1)^1/2

(2x^2+3) /(x^2+1)^1/2=[2(x^2+1)+1] /(x^2+1)^1/2
=2(x^2+1)^1/2+1/(x^2+1)^1/2……利用基本不等式
≥2√(2(x^2+1)^1/2•1/(x^2+1)^1/2)=2√2，
即(2x^2+3) /(x^2+1)^1/2的最小值是2√2，
∴a<2√2.

Answer 2

2x^2-a(x^2+1)^(1/2)+3>0
2x^2+3>a(x^2+1)^(1/2)
两边平方
4x^4+12x^2+9>a^2x^2+a^2
4x^2+(12-a^2)x^2+9-a^2>0
(12-a^2)^2-4*4(9-a^2)<0
化简得
a^4-8a^2<0
-2倍根号2<a<2倍根号2

Answer 3

对于任意的x∈R,不等式2x^2-a(x^2+1)^1/2+3>0恒成立。则实数a的取值范围是a≥2√2或a≤2