Question

求微分方程y''-3y'+2y=xe^2x（e的2x次幂）的通解，详细过程。

把它代入y''-3y'+2y=xe^(2x)整理得(2Ax+B)e^(2x)+2Ae^(2x)=xe^(2x)
怎么整理得那个数的？

Answer 1

解：∵y''-3y'+2y=0的特征方程是r²-3r+2=0，则r1=1，r2=2
∴y''-3y'+2y=0的通解是y=C1e^x+C2e^(2x) (C1,C2是积分常数)
设y''-3y'+2y=xe^(2x)的特解是y=(Ax²+Bx)e^(2x)
把它代入y''-3y'+2y=xe^(2x)整理得(2Ax+B)e^(2x)+2Ae^(2x)=xe^(2x)
==>2Ax+B+2A=x
比较同次幂系数得A=1/2，B=-1
∴y''-3y'+2y=xe^(2x)的特解是y=(x²/2-x)e^(2x)
故原方程的通解是y=C1e^x+C2e^(2x)+(x²/2-x)e^(2x) (C1,C2是积分常数)。