Question

高二文科数学题

已知直线l1：x＝my与抛物线C：y2＝4x交于O （坐标原点），A两点，
直线l2：x＝my＋m 与抛物线C交于B，D两点．
（1） 若 | BD | ＝ 2 | OA |，求实数m的值；
（2） 过A，B，D分别作y轴的垂线，垂足分别为A1，B1，D1．记S1，S2分别为三角形OAA1和四边形BB1D1D的面积，求S1:S2 ．

Answer 1

(1)，联立x＝my，y^2＝4x，得：O、A的坐标分别为（0，0），（4m^2，4m)；
所以|OA|^2=16m^4+16m^2。
联立x＝my+m，y^2＝4x，得：B、D的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2)；
将x＝my+m，代入y^2＝4x，消去x，得：y^2-4my-4m=0，
所以y1+y2=4m，y1y2=-4m，
(y1-y2)^2=(y1+y2)^2-4y1y2=16m^2+16m；
因为x1=my1+m，x2=my2+m，所以
x1+x2=m(y1+y2)+2m=4m^2+2m，x1-x2=m(y1-y2)，
所以|BD|^2=(x1-X2)^2+(y1-y2)^2=(m^2+1)(x1-x2)^2
=16(m^2+m)(m^2+1)。
又因为 | BD | ＝ 2 | OA |，所以
16(m^2+m)(m^2+1)=4（16m^4+16m^2），
整理得：m(3m-1)(m^2+1)=0，
因为 m^2+1>0，
所以 m=0（舍去），m=1/3。
故实数m的值为1/3。
(2)，三角形OAA1的面积S1
=1/2*|AA1|*|yA|=1/2*|xA|*|yA|
=1/2*|4m^2|*|4m|=8m^2*|m|；
直线L2与y轴的交点C坐标为（0，-1）。
四边形BB1D1D的面积S2
=|三角形CBB1的面积-三角形CDD1的面积|
=|1/2*|BB1|*CB1-1/2*|DD1|*|CD1||
=|1/2*|x1|*|y1+1|-1/2*|x2|*|y2+1||
=|1/2*|x1|*|x1/m|-1/2*|x2|*|x2/m||
=|x1^2-x2^2|/2|m|
=|(x1+x2)(x1-x2)|/2|m|
=|2m(2m+1)*4m根号(m^2+m)|/2|m|
=4|2m^2+m|*根号(m^2+m)。
所以S1：S2=8m^2*|m|： 4|2m^2+m|*根号(m^2+m)
=2m^2：|2m+1|*根号(m^2+m)。

Answer 2

(1)由题意，可解得:
|OA|^2=16m^4+16m^2
|BD|^2=(1+m^2)*(16m^2+16m)
又 | BD | ＝ 2 | OA |，所以
(1+m^2)*(16m^2+16m)=4*(16m^4+16m^2)，解得
m＝1/3
(2)S1=(1/2)*4m^2*|4m|
S2=(1/2)*|xB+xD|*|yB-YD|
=(1/2)*m^2*|yB+1|*|yD+1|*|yB-YD|
=(1/2)*m^2*1*|yB-YD|
=(1/2)*m^2*|16m^2+16m|^0.5
所以S1:S2=4m/((m^2+1)^0.5)