Question

如图，已知△ABC中，D是CB延长线上的一点，∠ADB=60°，E是AD上一点，且有DE=DB，AB=AC，求证AE=BE+BC

Answer 1

过点A作AF⊥BC于F。
AF是等腰△ABC底边上的高，可得：BC = 2BF ；
等腰△DEB中，∠ADB = 60°，可得：△BDE是等边三角形，BE = DE = DB ；
在Rt△ADF中，∠AFD = 90°，∠ADF = 60°，可得：AD = 2DF ；
所以，AE = AD-DE = 2DF-DB = 2(DB+BF)-DB = DB+2BF = BE+BC 。

Answer 2

求证:AE=BE+BC 因为：角EDB=60°DE=DB所以：△EDB是等边三角形，DE=DB=EB过A作BC的垂线交BC于F因为：△ABC是等腰三角形所以：BF=CF，2BF=BC又：角DAF=30°所以：AD=2DF又：DF=DB+BF所以：AD=2（DB+BF）=2DB+2BF=【2DB+BC】（AE+ED）=2DB+BC，其中ED=DB所以：AE=DB+BC，AE=BE+BC

Answer 3

延长BC到P使DP=AD
∵DE=DB,∠D=60°
∴△BDE,△ADP是等边三角形
∴BE=DE=BD,AD=AP=AP,∠D=∠P=60°
∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB
∵∠ABC+∠ABD=∠ACB+∠ACP=180°
∴∠ABD=∠ACP
∴△ABD≌△ACP(AAS)
∴CP=BD=BE
∵AD=AE+DE,DP=BD+BC+CP=BD+BC+BE
又∵DE=BD
∴AE=BC+BE