Question

一道关于三角形的数学题

在△ABC中，∠A=60°，BC=1，求证：AB+AC≤2
回答得好追加分数！
只写出必要步骤

Answer 1

AB²+AC²-BC² = 2AB*AC*cosA
==> AB²+AC² = 1+AB*AC
==> (AB+AC)² = AB²+AC²+2AB*AC = 1+3AB*AC ....(1)

AB+AC >= 2√(AB*AC)
==> AB*AC <= (AB+AC)²/4 ...(2)

(1)&(2) ==> (AB+AC)² <= 1+3(AB+AC)²/4
==> (AB+AC)² <= 4
==> AB+AC <= 2

Answer 2

假设AB=AC时，三角形是等边三角形 此时AB+AC=1+1=2
假设BC开始旋转，判断递变规律 可以用极值法 假设BC旋转了60°，与另一边重合
此时AB+AC=1+0=1 所以随着BC的旋转，AB+AC的值逐渐减小 所以1<AB+AC<=2

Answer 3

利用正弦定理BC/sinA=AB/sinC=AC/sinB，因为已知∠A=60°，BC=1，所以另外两条边也可以表示出来了，即AB+AC=1/sin60°(sinB+sinC)=1/sin60°(sinB+sin(120°-B))=1/sin60°(sinB+sin120°cosB+1/2sinB)=1/sin60°(sin60°cosB+3/2sinB)=2(sin30°cosB+sinBcos30°)=2sin(30°+B)
由于0<B<120°，那么1/2<sin(30°+B)<=1，所以AB+AC=2sin(30°+B)<=2
可能有点跳步。如果看不懂，找我吧~