Question

高一数学题，有关向量的，亲们快来帮忙啊。。T^T

已知平行四边形ABCD的四个顶点坐标为A(3,0)，B(0,4)，C(2,6)，D(5,2)
（1）求角A的正弦值
（2）求三角形ABC中AC边上的高的垂足E的坐标
（3）若点P为线段OC上的动点（O为坐标原点），且向量DP与向量AB所成角为钝角，求OP长度的范围

Answer 1

1.

易知向量AB=(-3,4)    AD=(2,2)

则cosA=AB*AD/(|AB|*|AD|)=(4*2-3*2)/(5*2*√2)=1/(5*√2)  由cosA>0知A为锐角

则sinA=√(1-cosA*cosA)=7/(5*√2)

2.

/*

设E的坐标为(x,y) 则 BE=(x,y-4)

得到三个方程：

AE=a*AC  (点E在AC上 a为一未知数)

AE-BE=AB  

BE*AC=0   (BE垂直于AC)

解得：

a=27/35

x=132/35

y=162/35

则可得到E坐标

*/

第二题答案有误，现修改如下：

设E的坐标为(x,y) 则 BE=(x,y-4)

得到三个方程：

AE=a*AC  (点E在AC上 a为一未知数)

AE-BE=AB  (这个方程没用处，可以去掉)

BE*AC=0   (BE垂直于AC)

解得：

可以在解题过程中消掉a，故不需要计算a的值。

解得

x=84/37

y=162/37

则可得到E坐标为(84/37,162/37)

3.

向量OP=b*OC=(2*b,6*b)  (b为未知数)

DP=OP-OD=(2*b-5,6*b-2)

由题知DP与AB成钝角，故cosx=DP*AB/(|DP|*|AB|)<0

由分母为>0得 DP*AB<0

则-3*(2*b-5)+4*(6*b-2)<0

得b<-7/18<0

则知，在线段OC上不存在P点使得向量DP与向量AB所成角为钝角。 

最后：你可以使用“几何画板”（不知道的话，百度之，呵呵）这个软件来画一下这个图进行检验，我附上一示意图

Answer 2

1、向量AD=（2,2）向量AB=(-3,4)
向量AD与向量AB的向量积为2*（-3）+2*4=向量AD的模*向量AB的模*cos角A=根号8*5*sinA
即2=8根号2sinA
sinA=根号2/5