Question

一道有关导数的数学题 想要详细的答案 要详细的哦

已知函数f(x),x属于 R满足f(2)＝3 ，且 f(x)在R上的导数满足f `(x)-1＜0 ，则不等式 f(x的平方)＜x的平方＋1的解 在什么区间 ？？

Answer 1

答案应该是(-∞,-√2)∪(√2,+∞)

原因如下：

Answer 2

令x^2=t
则f(x^2)<x^2+1→f(t)<t+1
Dt=[0,+∞)
∵f`(x)-1<0→f`(x)<1两边积分
∫f`(x)dx≤∫dx
∴f(x)≤x+C
∵f(2)=3
∴C≥1
∴当t≥2时 ,f(t)≤t+1
当且仅当t=2时取等号
∴x^2>2
x∈(-∞,-√2)∪(√2,+∞)

楼上φ(t)<0的解集应为(2,+∞)，

Answer 3

∵ f(x的平方)＜x的平方＋1
∴f(x的平方) －x的平方＜1
→设函数F（x）= f(x) －x
∵ F’(x)= f `(x)-1＜0
∴F(x)在R上递减
F(2)=3-2=1
∴若F（x）＜1则x＞2
∴若f(x的平方) －x的平方＜1则 F（x^2）＜1则x^2＞2
∴x∈(-∞,-√2)∪(√2,+∞)

Answer 4

设φ(x)=f(x)-x-1,从而φ(2)=f(2)-2-1=0并且φ'(x)=f'(x)-1<0从而φ(x)在R上单减所以φ(t)<0的解集为(2，+∞)从而φ(x²)<0的解集为x²>2故原不等式解集为(-∞,-√2)∪(√2,+∞)
谢谢提醒，不过二位都用了积分，其实不必要的