Question

已知偶函数f(x)=log4(4^x+1)+kx(k∈R) 我很急，快来来帮帮我！！！！！！！！

已知偶函数f(x)=log4(4^x+1)+kx(k∈R),（1）求k的值；(2)设g(x)=log4[a*2^x-(4/3)a],若函数f(x)与g（x）的图像有且只有一个公共点，求实数a的取值范围
求第二问详解

Answer 1

已知偶函数f(x)=log₄(4^x+1)+kx(k∈R),（1）求k的值；(2)设g(x)=log₄[a*2^x-(4/3)a],
若函数f(x)与g（x）的图像有且只有一个公共点，求实数a的取值范围
解:1.f(-x)=log₄[4^(-x)+1]-kx=log₄[(1+4^x)/4^x]-kx
=log₄(1+4^x)-log₄4^x-kx=log₄(1+4^x)-x-kx=f(x)=log₄(4^x+1)+kx
故有-x-kx=kx,即有 (2k+1)x=0,故k=-1/2.
2.f(x)=log₄(4^x+1)-x/2=log₄(4^x+1)+log₄4^(-x/2)=log₄[(4^x+1)×4^(-x/2)]
=log₄[4^(x/2)+4^(-x/2)]=g(x)=log₄[a×2^x-(4/3)a]
故有 4^(x/2)+4^(-x/2)=a×2^x-(4/3)a
即有 2^x+2^(-x)=a×2^x-(4/3)a
去分母得 2^(2x)+1=a×2^(2x)-(4/3)a×2^x
(1-a)×2^(2x)+(4/3)a×2^x+1=0
令2^x=u,则有 (1-a)u²+(4/3)au+1=0................(1)
为使f(x)与g(x)有且只有一个公共点,(1)的判别式必须等于0,即
△=(16/9)a²-4(1-a)=(16/9)a²+4a-4=0,故得4a²+9a-9=(4a-3)(a+3)=0
于是得a=3/4或a=-3..

Answer 2

（1）
f(x)=log4(4^x+1)+kx (k∈R)是偶函数.
于是f(x)=f(-x)
log4(4^x+1)+kx =log4[4^（-x）+1]-kx
log4[（4^-x+1）/(4^x+1)]=2kx
（4^-x+1）/(4^x+1)=4^(2kx)
4^-x=4^(2kx)
2kx=-x,k=-1/2
（2）log4(a×2^x-4/3a)=log4(4^x+1)-x/2
于是4^x+1=4^(x/2) [a×2^x-4/3a]
4^x+1=a·4^x -2^x·4/3a
a=1