Question

求定积分

求从-∞到∞的1/(1+x^n)dx的积分
是复变函数的题目，应该是用复变函数的知识，不如如果可以用其他方法做出来也可以发上来
多谢各位！

Answer 1

楼主是要解题过程还是解题思路
问这个问题主要是因为如果知道了思路这道题就很好解了。
确实是要用到一个重要的复变函数的知识点--残数。
首先要注意到如果n为奇数，该定积分为0。
所以这里只讨论n为偶数的情况(n≠0)。至于n为非整数就不是人做的题了（有理数还是能做的，只不过是让人头疼的对以下的拓展，无理数就是无理取闹了）。
在负数平面上，做以原点为圆心的半圆（可见直径在实轴上，这一段是我们要关注的。），设半径为R。设n=2m
设g(z)=(1+z^n),f(z)=1/g(z)
半圆∫f(z)dz=直径∫f(z)dz+半圆弧∫f(z)dz
那么所求定积分(t=0)=lim(R->inf)直径∫f(x)dx(在实轴上，所以用x不用z了)=半圆∫f(z)dz-半圆弧∫f(z)dz
我们首先看半圆∫f(z)dz
设w(n)=e^(2πi/2m)为x^n=1的一个单位根，p(n)=e^(πi/2m)为旋转值
则p(n)*w(n)^0,p(n)*w(n)^1,p(n)*w(n)^2,...,p(n)*w(n)^(n-1)都是x^n+1=0的根。
g(x)=π(x-p(n)w(n)^i)
假设R>1，x^n+1一半的根都在半圆内：
p(n)w(n)^0,p(n)w(n)^1,...,p(n)w(n)^m.
根据残数定义
Res(f(z),z0)=lim z->z0 [(z-z0)f(z)]
那么
Res(f(z),p(n)w(n)^i)=lim z->p(n)w(n)^i [(z-p(n)w(n)^i)*f(z)]
设R(i)=Res(f(z),p(n)w(n)^i)
由残数定理
半圆∫f(z)dz=2πi(R(1)+R(2)+...+R(M)) (与R值无关)
当R->inf,|z^n+1|->inf, |1/(z^n+!)|->0,所以lim R->inf 半圆弧∫f(z)dz=0
所以
-∞到∞的1/(1+x^n)dx的积分=半圆∫f(z)dz-lim R->inf 半圆弧∫f(z)dz=
=2πi∑R(i)-0=2πi∑R(i)
虽然看起来2πi∑R(i)不是实数，但是R(i)带i会与2πi中的i相抵。所以结果还是实数。

这个问题很好，很考究基础。

Answer 2

Answer 3

总要说下N的范围吧，N是0或者是1就没意义了

Answer 4

令 x=e^(2πi/nt)