Question

数学问题啊，相似三角形的

AD=3cmAB=a cm(a＞3）懂点M、N同时从B出发分别沿B--A、B--C运动，速度都是1cm\s过点M做直线垂直AB分别叫AN、CD于点P、Q。当点N到达终点C时，点M也随之停止，设运动时间为 t 秒.
①若a=5cm，求时间t使△PNB相似于△PAD并求出其相似比。
②若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围
③是否存在这样的梯形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN、梯形PQDA、梯形PQCN的面积都相等？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）由图可知BM和AM分别是△PNB和△PAD的高，
若△PNB∽△PAD，则BN:AD=BM:AM，即
t/3=t/(5-t)，解得
t=2.
即t=2时，△PNB∽△PAD，相似比为2/3。
（2）设BN=x，则0≤x≤3，则BM=x，
∵PM⊥BC，
∴△APM∽△ANB，
∴PM:BN=AM:AB，
∴PM/x=(a-x)/a，
∴PM=x(a-x)/a
∴由题意得，[6-x(a-x)/a]/2=[x(x-a)/a+x]x/2
解得，x=6a²/(a²+6a)，所以0≤6a²/(a²+6a)≤3，
解得，0≤a≤6，又由题意a＞3，故a的取值范围为
3＜a≤6
（3）∵3＜a≤6时，梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，
∴梯形PQCN的面积与梯形PMBN的面积相等即可，则CN=PM，
∴t/a *(a-t)=3-t ，
把t=6a/(6+a)代入，解得
a=±2√3，又a＞3，故
a=2√3
∴存在a，当a=2√3时，梯形PMBN与梯形PQDA的面积、梯形PQCN的面积都相等。

Answer 2

①P在DB上时，△PNB相似于△PAD，设BN=BM=xcm，可以求得x=2cm，t=2秒，相似比=2/3。
②设BN=BM=xcm,PM=x(a-x)/a,PQ=x^2/a+3-x
由梯形面积相等，可以求出x=6a/(a+6),x<=3,即6a/(a+6)<=3,得到3<a<=6
③梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等,x=6a/(a+6)
梯形PMBN与梯形PQCN的面积相等,可以得到x^2-2ax+3a=0
以上两式得到a^2=12,a=12开方