Question

已知函数f(x)=lg1-x/a+x（a>0,-a<x<1)

求（1）若a=1,求证函数f(x)是奇函数；
（2）请你给定一个正数a，判断函数f(x)在（-a,1）上的单调性，并用函数单调性定义证明

Answer 1

（1）证明：
若a=1，则-1＜x＜1，
f(x)=lg[(1-x)/(1+x)]
f(-x)=lg[(1+x)/(1-x)]=lg[(1-x)/(1+x)]^(-1)= -lg[(1-x)/(1+x)]=-f(x)
故若a=1，函数f(x)是奇函数。
（2）令a=2，g(x)=(1-x)/(2-x)，则
g(x)=1-1/(2-x)，
由于x∈(-2,1)，x增大，2-x 减小，又1＜(2-x)＜4，故1/(2-x) 增大，1-1/(2-x)减小即g(x)减小，故lg(g(x))减小，即f(x)减小。
所以，
f(x)在x∈(-2,1)上，随x的增大而减小，即f(x)在该区间上单调递减。