Question

设椭圆x2/a2+y2/b2=1的左焦点F,上顶点A,过A作与AF垂直的直线交椭圆与

设椭圆x2/a2+y2/b2=1的左焦点F，上顶点A，过A作与AF垂直的直线交椭圆与
交于P交x轴正半轴与,Q且AP向量=8/13AQ向量求:椭圆的离心率;

Answer 1

A(0,b),F(-c,0),kAF=b/c ,直线AQ与AF垂直,kAQ=-1/kAF=-c/b
直线AQ:y=-(c/b)x+b与x2/a2+y2/b2=1求得P点纵坐标（用a,b,c表示）
AP/PQ=8/5,PQ/AQ=5/13,
P,A纵坐标之比为5/13，可得a,b,c的一个关系(1)
又a^2=b^2+c^(2)
e=c/a(3)
由(1)(2)(3)可求出椭圆的离心率

Answer 2

解：设Q坐标为(m,0)，m>0，焦距为2c，则A(0,b),F(c,0)
则向量AQ=(m,-b)，则向量AP=(8m/13,-8b/13)
则向量OP=向量OA+向量AP=(0,b)+(8m/13,-8b/13)=(8m/13,5b/13)
则P点坐标为(8m/13,5b/13)，满足抛物线方程
即64m²/169a²+25b²/169b²=1，即m²/a²=9/4
因为m>0，则m/a=3/2，即m=3a/2
向量AF=(c,-b)，向量AQ=(m,-b)
∵AF⊥AQ，∴向量AF·向量AQ=mc+b²=0
即b²=-mc=-3ac/2=a²-c²
即2a²+3ac-2c²=0
即2+3(c/a)-2(c/a)²=0 ........等式两边同除以a平方
即2+3e-2e²=0
即e=(-3±5)/4
∵e>0
∴e=1/2